三次函数的对称性中心问题

三次函数再探讨---对称中心问题武汉市长虹中学郭永清三次函数存在对称中心吗？我们先从几个特殊的函数入手，三次函数cxaxxf3)(（0a)是奇函数，其图象关于)0,0(对称，三次函数dbxaxxf3)((0a)的图象关于点),0(d对称，那么对于一般的三次函数)0()(23adcxbxaxxf有没有对称中心呢？答案是肯定的，有对称中心，其对称中心是))3(,3(abfab。在证明之前，先回忆一个结论：定理1：函数)(xfy的图像关于点),(baM对称，则在bxafxf2)2()(证明：设),(yxA是)(xfy图像上任意一点，则A关于点),(baM的对称点)2,2(ybxaB也在函数)(xfy图像上，即)2(2xafyb,又)(xfy，所以bxafxf2)2()(定理2：三次函数)0()(23adcxbxaxxf的对称中心是))3(,3(abfab证明1：设),(yxA是)(xfy图像上任意一点，只要能证明点))3(2,32-(yabfxabB也在函数图像上。cxbxaxdabcabdcxabcbxaxbabaxbxxababdxabcxabbxabaxabf23232223322232332274323494234278)32()32()32()32(dcxbxaxxfydabcabbabaabf2323)()3()3()3()3(cxbxaxdabcabdcxbxaxdabcabbabayabf23232323322742)3(2)3(2)3(2)3(2所以)3(2)32()(abfxabfxf所以三次函数)0()(23adcxbxaxxf的对称中心是))3(,3(abfab证明2：因为)0()(3abxaxxf的对称中心是(0,0),所以0030)()()(yxxbxxaxf的对称中心为),(00yx,即))(,(00xfxdcxbxaxxf23)(dcxabaxabaabxabxabxa323223)3()3(3])3()3(333[dabaxcabaabxa323)3(])3(3[)3()3]()3(3[)3()3]()3(3[)3(2323abcabadabaabxcabaabxa而)3()3()3()3]()3(3[)3(2323abcabbdabaabcabadaba)3(abf)0()(23adcxbxaxxf的图象关于))3(,3(abfab对称。证明3：设函数)0()(23adcxbxaxxf的对称中心为（m，n）。按向量),(anm将函数的图象平移，则所得函数nmxfy)(是奇函数，所以02)()(nmxfmxfdmxcmxbmxa)()()(23dmxcmxbmxa)()()(23-2n=0化简得：上式对恒成立，故00323ndcmbmambam得，。所以，函数的对称中心是（）。定理3：若三次函数有极值，则它的对称中心是两个极值点的中点证明：不妨设0232cbxax为)(xf的导方程，判别式01242acb,设)(xf两极值点为))(,()),(,(2211xfxBxfxAacxxabxxdxxcxxxxbxxxxxxadxxcxxbxxadcxbxaxdcxbxaxxfxf3,322)(2)(3)()(2)()()()()(2121212122121221212122213231222321213121又dabcabbabadabcacbabbacabaabaxfxf2)3(2)3(2)3(22)32(32323)32(332)()(232321)3(2)(21abfxxf所以此时的对称中心是两个极值点的中点，同时也是函数)(xf的拐点。定理4：)(xfy是可导函数，若)(xfy的图像关于点),(nmA对称，则)('xfy的图像关于直线mx对称证明：)(xfy的图像关于),(nmA对称，则nxmfxf2)2()(由xxfxxfxfx)()()(lim0')()()(lim)()(lim)(2)(2lim)2()2(lim)2('0000'xfxxfxxfxxxfxfxxfnxxfnxxmfxxmfxmfxxxx)('xfy图像关于直线mx对称。三次函数的对称中心是（）。所以其导函数的图像关于直线abx3对称。定理5：过三次函数的对称中心且与该三次曲线相切的直线有且只有一条证明：设三次函数，一直线与三次曲线切于点Q（dcxbxaxx020300,），且直线过点（）。直线方程可写为：dcxbxaxxxcbxaxy020300020))(23(又dabcabbabaabf33)3()3(23dabcabbaba33)3(23dcxbxaxxabcbxax020300020)3)(23(化简为：abxabx30)3030（这说明切点就是对称中心。经典例题欣赏：1.求763)(23xxxxf的对称中心。2.求2331)(xxxf的极值和对称中心。3.（2004年重庆高考题）设函数))(1()(axxxxf,)1(a（1）求导函数)('xf,并证明)(xf有两个不同的极值点21,xx（2）若不等式0)()(21xfxf成立，求a的取值范围。4.已知))()(()(cxbxaxxf（1）求证))(())(())(()('cxbxcxaxbxaxxf（2）若)(xf是R上的增函数，是否存在点P使)(xf的图像关于点P中心对称？如存在，请求出P点坐标，并给出证明，如果不存在，请说明理由。