函数的对称性与周期性

函数的对称性与周期性吴江市盛泽中学数学组徐建东对称性：函数图象存在的一种对称关系，包括点对称和线对称。周期性：设函数)(xf的定义域是D，若存在非零常数T，使得对任何Dx，都有DTx且)()(xfTxf，则函数)(xf为周期函数，T为)(xf的一个周期。对称性和周期性是函数的两大重要性质，他们之间是否存在着内在的联系呢？本文就来研究一下它们之间的内在联系，有不足之处望大家批评指正。一、一个函数关于两个点对称。命题1：如果函数)(xfy的图象关于点)0,(a和点)0,(b)(ab对称，那么函数)(xfy是周期函数，)(2baT为函数)(xfy的一个周期。证明：∵函数)(xfy的图象关于点)0,(a对称，∴)2()(xafxf对定义域内的所有x成立。又∵函数)(xfy的图象关于点)0,(b对称，∴)2()(xbfxf对定义域内的所有x成立。从而)2()2(xbfxaf∴)()]2(2[)]2(2[xfxbbfxbaf即：)()])22[(xfxbaf∴)(xfy是周期函数，)(2baT为函数)(xfy的一个周期。特例：当0a时，)(xfy为奇函数，即奇函数)(xfy如果又关于点)0,(b)0(b对称，那么函数)(xfy是周期函数，bT2为函数)(xfy的一个周期。命题1：如果函数)(xfy的图象关于两点),(ba和),(dc对称，那么：当db，ca时，)(xfy是周期函数，)(2caT为函数)(xfy的一个周期。当db，ca时，)(xfy不是周期函数。证明：∵函数)(xfy的图象关于点),(ba对称，∴)2(2)(xafbxf对定义域内的所有x成立。又∵函数)(xfy的图象关于点),(dc对称，∴)2(2)(xcfdxf对定义域内的所有x成立。从而)2(2)2(2xcfdxafb01当db，ca时)2()2(xcfxaf∴)()]2(2[)]2(2[xfxccfxcaf即：)()])22[(xfxcaf∴当db，ca时，)(xfy是周期函数，)(2caT为函数)(xfy的一个周期。02当db，ca时)2(2)2(2xcfdxafb∴)2(22)2(xcfdbxaf∴)(22)]2(2[22)]2(2[xfdbxccfdbxcaf∴当db，ca时，)(xfy不是周期函数。03当db，ca时)2(2)2(2xafdxafb∴db22（与条件矛盾，舍去）综合得原命题成立。二、一个函数如果关于一个点和一条线对称。命题2：如果函数)(xfy的图象关于点)0,(a和直线mx)(am对称，那么函数)(xfy是周期函数，)(4amT为函数)(xfy的一个周期。证明：∵函数)(xfy的图象关于点)0,(a对称，∴)2()(xafxf对定义域内的所有x成立。又∵函数)(xfy的图象关于直线mx对称，∴)2()(xmfxf对定义域内的所有x成立。从而)2()2(xafxmf∴)()]2(2[)]2(2[xfxaafxamf即：)()])22[(xfxamf∴)()]([])22[()]})22[()22{(xfxfxamfxamamf即：)()])(4[xfxamf∴)(xfy是周期函数，)(4amT为函数)(xfy的一个周期。特例：当0a时，)(xfy为奇函数，即奇函数)(xfy如果又关于直线mx)0(m对称，那么函数)(xfy是周期函数，mT4为函数)(xfy的一个周期。命题2：如果函数)(xfy的图象关于点),(ba和直线mx对称，那么函数)(xfy是周期函数，)(4amT为函数)(xfy的一个周期。证明：∵函数)(xfy的图象关于点),(ba对称，∴)2(2)(xafbxf对定义域内的所有x成立。又∵函数)(xfy的图象关于直线mx对称，∴)2()(xmfxf对定义域内的所有x成立。从而)2(2)2(xafbxmf∴)(2)]2(2[2)]2(2[xfbxaafbxamf即：)(2)])22[(xfbxamf∴])22[(2)]})22[()22{(xamfbxamamf)()](2[2xfxfbb即：)()])(4[xfxamf∴)(xfy是周期函数，)(4amT为函数)(xfy的一个周期。三、一个函数如果关于两条线对称。命题3：如果函数)(xfy的图象关于直线ax和直线mx对称，那么函数)(xfy是以)(2amT为周期的周期函数。证明：∵函数)(xfy的图象关于直线ax对称，∴)2()(xafxf对定义域内的所有x成立。又∵函数)(xfy的图象关于直线mx对称，∴)2()(xmfxf对定义域内的所有x成立。从而)2()2(xafxmf∴)()]2(2[)]2(2[xfxaafxamf即：)()])22[(xfxamf∴)()])(2[xfxamf∴)(xfy是以)(2amT为周期的周期函数。特例：当0a时，)(xfy为偶函数，即偶函数)(xfy如果又关于直线mx)0(m对称，那么函数)(xfy是周期函数，mT2为函数)(xfy的一个周期。