Schwarz导数：导数定义的一个推广

编号：08005110132xxxx学院2012届毕业生毕业论文（设计）题目：Schwarz导数：导数定义的一个推广完成人：xxx班级：2008-01学制：4年专业：数学与应用数学指导教师：李书选完成日期：2012-03-31目录摘要………………………………………………………………………………………(1)1Schwarz导数的定义………………………………………………………………(1)1.1导数的定义………………………………………………………………………(1)1.2Schwarz导数的定义………………………………………………………………(1)1.3Schwarz右可导的定义……………………………………………………………(2)1.4导数与Schwarz导数的关系………………………………………………………(2)1.5Schwarz导数与连续的关系………………………………………………………(7)2Schwarz导数的性质………………………………………………………………(8)2.1Schwarz导数的四则运算…………………………………………………………(8)2.2Schwarz导数的性质………………………………………………………………(12)3Schwarz导数的中值定理…………………………………………………………(13)3.1罗尔定理…………………………………………………………………………(13)3.1.3引理1…………………………………………………………………………(13)3.1.2罗尔定理……………………………………………………………………(14)3.1.3广义罗尔中值定理…………………………………………………………(14)3.2拉格朗日中值定理………………………………………………………………(15)3.3柯西中值定理………………………………………………………………………(16)4结束语………………………………………………………………………………(16)参考文献………………………………………………………………………………(17)Abstract…………………………………………………………………………………(17)第1页（共17页）Schwarz导数：导数定义的一个推广作者：xxxxcx指导老师：李书选摘要：在学习导数的基础上我们进一步研究Schwarz导数，从中探讨通常意义下的导数与Schwarz导数的关系，将其性质推广到Schwarz导数上去，并得出Schwarz的基本性质及关于Schwarz导数的中值定理.关键词：Schwarz导数；导数；连续；中值定理Schwarz导数又称为对称导数，《数学分析问题研究与评注》（汪林等编著）一书中介绍了对称导数即Schwarz导数的概念，但未详细介绍通常意义下的导数与Schwarz导数的关系.在这里将揭示通常意义下的导数与Schwarz导数的关系,将其性质推广到Schwarz导数上，并且探讨Schwarz导数的一些通常意义下的导数不具有的性质.１Schwarz导数的定义1.1导数的定义定义1设函数()yfx在点0x的某邻域内有定义，若极限000()()limxxfxfxxx存在且等于A，则称函数()fx在点0x处可导，并称该极限值A为函数()fx在点0x处的导数，记做0'()fx.1.2Schwarz导数的定义定义2设函数()yfx在点0x的某邻域内有定义，若极限000()()lim2hfxhfxhh存在且等于A，则称()fx在点0x处Schwarz可导，此极限值A称为()fx在点0x处的Schwarz导数，记为0()sfx，或0()|xxsfxsx.例1求函数()||fxx在点0x处的Schwarz导数.第2页（共17页）解由Schwarz导数的定义可得：(0)sf=0(0)(0)lim2hfhfhh=0limh(|0||0|)/20hhh.例2证明若函数()fx在邻域(0)U内是偶函数，则()fx在0x处Schwarz可导，且(0)0sf.证明若函数()fx在邻域(0)U是偶函数，则对(0)hU,有()()fhfh,从而有0(0)(0)lim2hfhfhh=0limh02h=0,即()fx在点0x处Schwarz可导，且(0)0sf.1.3Schwarz右可导的定义定义3设函数()fx在点0x的某右邻域00(,)xx内有定义，若极限000()()lim2hfxhfxhh存在，则称()fx在点0x处Schwarz右可导，记为0()sfx.类似的，我们可以定义Schwarz左可导：-0000()()()lim2shfxhfxhfxh.导数和Schwarz导数的定义我们已经给出，那么它们之间有什么关系呢？这也是我们要研究的.1.4导数与Schwarz导数的关系命题1若函数()fx在点0x处可导，则函数()fx在点0x处Schwarz可导，且0'()fx=0()sfx.证明因为000000()()()()()()222fxhfxhfxhfxfxfxhhhh,又因为第3页（共17页）0000000()()()()11limlim'()222hhfxhfxfxhfxfxhh;0000000()()[()]()11limlim'()22()2hhfxfxhfxhfxfxhh,所以000000()()11lim'()'()'()222hfxhfxhfxfxfxh,即()fx在0x处Schwarz可导，且00'()()sfxfx.那么如果函数()fx在点0x连续，且Schwarz可导，是否有()fx在点0x可导，即该结论的逆命题是否成立？如上面的例1()||fxx在0x处Schwarz可导，但是在数学分析中我们知道()||fxx在0x处不可导.即如果函数()fx在点0x连续，且Schwarz可导，不一定有()fx在点0x可导.在Schwarz可导的前提下，怎么才能推出函数可导？我们可以适当加强条件，使函数Schwarz可导，得出命题2.命题2设函数()fx与()sfx在开区间(,)ab内连续，则()fx在区间(,)ab内可导，且0'()fx=()sfx，0x(,)ab.证明取h充分小，不妨设0h，使得0axhb,构造函数0000()()()()()()fxhfxgxfxfxxxh，则：(i)0()gx=0()gxh=0；(ii)()gx在闭区间00[,]xxh上连续；(iii)()sgx在开区间00(,)xxh内有意义；事实上我们有()()2gxlgxll=()()2fxlfxll-00()()fxhfxh00[()][()]2xlxxlxl第4页（共17页）=()()2fxlfxll-00()()fxhfxh,对上述等式两边取极限0l，有0liml()()2gxlgxll=0liml()()2fxlfxll-00()()fxhfxh,即00()()()()ssfxhfxgxfxh.下面要证明，存在12,xx介于00,xxh之间，使得1()0sgx，2()0sgx.若()0gx，则结论成立.若()0gx，则存在00(,)cxxh，使得()0gc或()0gc.当()0gc时，取k,使0()0()gckgx.记0{|(),}Axgxkxxc并设1infxA.因为()gx在0[,]xc上连续，故1x0x，1xc.而且1xA.因为，如果1xA,则1()gxk,01xxc.由连续函数的性质知,存在1x的某个邻域，在此邻域中任何x,都满足()gxk,即存在1xx,使得()gxk,此时与1x是A的下界矛盾，因此1xA.再由下确界定义,对任意给定0，总存在xA,使得11xxx而()gxk.即在1x的每个邻域内，都存在1xx,使()gxk.而当1xx时，有()gxk.于是由Schwarz导数的定义知1()0sgx.记0{0(),}Bgxkcxxh,并设2x=infB.同理可证：220,xcxxh，且2xB,根据下确界定义,对任意的0，总存在xB,使得22xxx.而0()gxk,即在2x的每个邻域内都存在x，其中2xx,且0()gxk,而当2xx时,()gxk，由Schwarz导数的定义知1()0sgx.当()0gc时,同理我们可得，存在12,xx介于0x,0xh之间，使得第5页（共17页）12()0,()0ssgxgx.因此，存在1x，2x严格介于00,xxh之间，使得0021()()()()ssfxhfxfxfxh.由极限的两边夹法则及sf的连续性可知21000lim()lim()()ssshhfxfxfx.所以0limh00()()fxhfxh=0()sfx即()fx在0x处可导，且0'()fx=()sfx.命题3设函数()yfx在点0x处Schwartz可导，且0lim()xxfxA或者0lim()xxfxA，则0lim()xxfx存在，且0lim()xxfxA.证明若0lim()xxfxA,因为0000()()()lim2shfxhfxhfxh,所以000()()()02sfxhfxhfxh(0)h,即000()()2()()sfxhfxhhfxoh(0)h,移项得0()fxh=0()fxh+02()shfx+()oh(0)h,所以000lim()lim()xxhfxfxh00000lim()lim[2()]lim()shhhfxhhfxoh0lim()00xxfxA,故0lim()xxfx存在，且0lim()xxfxA.若0lim()xxfxA,因为第6页（共17页）0()sfx=000()()lim2hfxhfxhh,所以0000()()lim()02shfxhfxhfxh(0)h,即00()()fxhfxh=02()shfx+()oh(0)h,移项得0()fxh=0()fxh+02()shfx+()oh(0)h,所以000lim()lim()xxhfxfxh00000lim()lim[2()]lim()shhhfxhhfxoh0lim()00xxfxA.故0lim()xxfx存在，且0lim()xxfxA.即命题成立.例3设函数1cos,0(),0xxfxxx，讨论()fx在点0x处的Schwarz可导性与可导性.解Schwarz可导性：因为00(0)(0)[1cos(0)](0)1(0)limlim222shhfhfhhhfhh；00(0)(0)[1cos(0)](0)1(0)limlim222shhfhfhhhfhh；所以()fx在点0x处Schwarz可导，且(0)sf=12.可导性：因为00(0)(0)[1cos(0)](1cos0)'(0)limlim0hhfhfhfhh；00()(0)(1cos0)'(0)limlim1hhfhfhhfhh；即'(0)'(0)ff，所以()fx在0x处不可导.第7页（共17页）命题4若函数()fx在点0x存在左，右导数，则函数()fx在点0x处Schwarz可导，且0001()['()'()]2sfxfxfx.证明：因为00()()2fxhfxhh=00()()2fxhfxh+00()()2fxhfxh，所以000()()lim2hfxhfxhh