江苏省专转本统一考试高等数学复习资料总纲(简略版)

南航专转本-1-高等数学复习提纲一、极限（一）极限七大题型1.题型一()lim()mxnPxPx（,mn分别表示多项式的幂次）要求:A:达到口算水平；B:过程即“除大”。2.题型二()limxaa®有限分子分母将a带入分母3.题型三（进入考场的主要战场）()()limvxxaux®注：应首先识别类型是否为为“1¥”型！公式：1lim(1)e+=口诀：得1得+得内框，内框一翻就是e。（三步曲）4.题型四：等价无穷小替换（特别注意：0）（1）A:同阶无穷小：lim0()xffg¹是g的同阶；B:等价无穷小：lim1(g)xffg和等价=；C:高阶无穷小：lim0(g)xffg是的高阶=.注意：fg和的顺序（2）常用等价替换公式：1sin~41~e7*arcsin~*arctan~2tan~5ln(1)~31cos~212611~n1n特别补充：21sec1~2（3）等价替换的的性质：1）自反性：~;=0¹0直接带入a求出结果就是要求的值¹0结果：¥=0“0/0型”用洛比达法则继续计算求值将a带入分子南航专转本-2-2）对称性：~~若，则；3）传递性：~~~.若，，则（4）替换原则：A:非0常数乘除可以直接带入计算；B:乘除可换，加减忌换（5）另外经常使用：lnMMe=进行等价替换题型五lim()()0(()0,())xaxfxgxfxgx®?=不存在但有界有界：,|()|MgxM$［有界（sin,cos,arcsin,arccot,xxxx均有界）识别不存在但有界的函数：sin,cos,,2eゥゥ5.题型六：洛必达法则（极限题型六），见导数应用：洛必达法则6.题型七：洛必达法则（极限题型七），定积分，见上限变限积分7.题型三&题型四的综合（二）极限的应用1、单侧极限（1）极限存在条件000lim()(0)(0)xxfxAfxfxA®=?=-=左左右右（2）极限的连续性000lim()()()xxfxfxfxxx®==即在连续000(0)(0)()fxfxfx?=-=（3）间断点及分类（★难点）把握两个问题：第一，如何找间断点；第二，间断点分类（难）。A:间断点：定义域不能取值的内点B:间断点分类Ⅰ类可去Ⅱ类Ⅰ类跳跃0lim()xxfx®=二、导数（坚守的阵地）（一）导数定义定义一1、“陡”、“平”的形象叙述;A,Ⅰ类可去¥,Ⅱ类不存在，不能分类，求左右极限00(0)(0)fxfx+=-=有限00(0)(0)fxfx+?南航专转本-3-2、00()'()dfxfxdx==攻唯一切线斜率（）;3、00()()tanfxxfxyxxb+-==;4、0000()()'()limxfxxfxfxx®+-=.拓展：0000()()lim'()fxfxAfx®+-==注意：1）分段点求导，永远用定义！2）有连续性条件时可直接带入定义二0000()()'()lim()xfxxfxfxx--®+-=（左导）左支0000()()'()lim()xfxxfxfxx++®+-=（右导）右支000'()'()'()fxfxfx+-?=存在（二）导数常用公式1c07(tan)x221seccosxx(cot)x221cscsinxx(sec)'xtansecxx(csc)'xcotcscxx2nx1,nnxn为常数3xaln,xaaa为常数4xexe5(log)ax1lnxalnx1x(lg)x1ln10x8(arcsin)'x211x(arccos)x211x(arctan)'x211x(cot)'arcx211x6sinxcosx(cos)xsinx（三）导数运算1、乘法运算：()'''uvuvuv=+()''''uvwuvwuvwuvw=++2、除法运算：2''()'uuvuvvv-=（四）复合函数求导（核心内容★★★）1、层次分析（如右“九字诀”,由外向内，“遇则则止”）所谓的“则”是＋、-、×、÷2、几点性质：（1）公式lnx1x，推广为：11(ln||)'||xxx=?九字诀号变号则用则层间乘南航专转本-4-（2）形如：()()vxux利用公式lnMMe=等价替换（3）奇偶性:①()'yfxy=?奇偶②()'yfxy=?偶奇（五）高阶导数1()!nnxn()0()mnxmn3()sinnxsin2nx()(cos)nxcos2nx2()1naxb1(1)!()nnnnaaxb4()()axnenaxae（六）微分1、基本知识'dyydx=注意求的时候要加“dx”.2、参数方程求导（考试重点）参数方程、隐函数、变限积分、变限二重积分()xxt()yyt公式：''ttydydxx=22()''ttdydydxdxx=3、符号型求导f层抽象符号层4、隐函数求导（必考）(),yfx一元显函数(,),ufxy二元显函数(),yyx一元隐函数题目一般形式是:(,)(,),fxygxy22dd,.ddyyxx求5、对数法求导巧用对数的性质，变形式子（七）导数的应用1、切线与法线切线斜率就是在该点的导数值法线斜率×切线斜率=-1；2、洛必达法则（极限题型六）（★）()'()limlim()'()xaxaxxfxfxgxgx22dd,ddyyxx求标准形式：条件：1.0,0；2.后有则前有注意：1．等价无穷小，乘除可换，加减忌换2．洛必达法则可重复使用t为中间变量南航专转本-5-3、函数的单调性与极值、凹凸性、拐点1）“峰”——极大值；“谷”——极小值；单调性与极值求解A：单调性：'0,;'0,.yxIyyxIyB：单调性交界点→极值点（判据）C:极值点可疑点（'0&'yy不存在☆）D:渐近线lim(),()lim()()xxafxAyAyfxfxxayfx如果则是的水平渐近线；如果，则是的垂直渐近线.2）函数凹凸性与拐点A：''0,;''0,.yxIyyxIy凹（）凸（）B:凹凸性交界点且能取值→拐点C：拐点可疑点''0&''yy不存在☆一般求解步骤：（1）求定义域、渐近线；（2）计算',''yy；（3）求'0,''0yy的点和使',''yy不存在的点，设为123,,...xxx；（4）列表分析；（5）得出结论.4、函数最大值、最小值()[,]fxxab连续，比较：1）'()0,'fxf不存在极值可疑点；2）端点5、函数的实际应用步骤：（1）合理做设，x具有唯一性；（2）(),yfx建模；（关键点所在）（3）令*'0,()yxx符合实际；（4）“八字”，唯一驻点，即为所求。三、多元微分学（20+）（一）显函数一阶偏导数'(,)xxuuuxyx变常“求即变”：求哪个，哪个就是变量南航专转本-6-'(,)yyuuuyxy变常（二）全微分一元函数：(),d'dyfxyyx此时，可微可导二元函数：(,),ddd.uuufxyuxyxy此时，可微偏导数存在，且连续（三）(高)二阶偏导数主要是求22ux2uxy2uyx22uy，分别定义为：222222(),(),(),().uuuuuuxxxxyxyuuuuuuyxyxyyy（四）二元隐函数求导(,,)0,()Fxyzzzxy一般一阶：''xzFzxF''yzFzyF二阶直接求：(,)zzxy（五）符号型求导（必考）1．(),xuy为已知函数（第一类：“妈妈一元”函数）2.(,2),ufxyxyf为已知函数（第二类）(重点★)会画关系图【例题】(,23),ufxyxyf已知.求2,,.uuuxyxy解：（1）画关系图uf1x√y△2x√y△（2）“九字诀”求解uxuy2uxy四、不定积分★九字诀先找路路中乘路间加一定条件下，即连续时：22uuxyyx框1框2南航专转本-7-（一）基本知识1.性质：[()d]'();d[()d]()d;d()()fxxfxfxxfxxFxFxC2.基本公式★1dnxx11(1)1nxCnn7cscdxxln|cotcsc|xxCsecdxxln|tansec|xxC21dxxln||xC3dxaxlnxaCa8221dxaxarcsinxCa221dxax1arctanxCaa221dxax1ln2axCaax21dxxA2lnxxAC4dxexxeC5sindxxcosxCcosdxxsinxC62secdxxtanxC2cscdxxcotxC（二）求不定积分的四大方法1、方法一（1）凑常数公式：1dd(),,xaxbaba均为常数（2）配方见到一元二次方程敏感的想到配方法（3）拆分公式：11()()1[]()()()()()()caxbacxdcaaxbcxdbcadaxbcxdbcadcxdaxb（4）利用三角函数和差化积和积化和差公式积分2、方法二——固定搭配公式'()(())dxfxxx3、方法三——分布积分（1）一般分布积分公式：dduvuvvu关键：v是什么？（2）特殊方程法积分法lnarctanarcsin、、x幂三角函数ev的优先级方向高南航专转本-8-积分时，对如下积分要特别注意：2222sinlnsin3d,d,d,d,sind,sin(ln)d,cos4d1xxxxxexxexxxxxxxexxxx等等4、方法四——变量替换（1）一次项替换如:daxbx方法：直接令2,tbaxbtxa即.（2）二次项替换根据下表进行相应替换：原项换元22axsinxat22axtanxat22xasecxat五、定积分（一）定积分计算1.N-L公式（牛顿-莱布尼兹公式）()d()fxxFxC()d()()()bbaafxxFbFaFx主要思想是利用积分方法进行积分，然后“出来代值”计算；2.变换——变限111()()()()()d[()]'()d.bbxtaatxfxxfttt（二）定积分性质1.（1）()d0.aafxx（2）()d()d.abbafxxfxx2.d,(()d)0.dbaabfttx若为常数，3.更名：()d()d()d.bbbaaafxxfttf4.拆分：()d()d()d.bcbaacfxxfxxfxx积分性质的运用：（1）分段函数的定积分（2）函绝对值积分（3）三角函数积分（实质是判断三角函数符号进行拆分积分运算）5.若()fx为奇函数，则()d0.aafxx替换原理:根据下面两个三角变换得来的1.22sincos1xx2.221tansecxx南航专转本-9-★这一性质十分重要，特别是见到对称限时要想到这一性质。6.变限积分涉及到求极限七大题型的最后一种题型，即题型七（1）()()dxagxftt(()d)'()xxafttfx★记住：与x没有关系推广：2()1()2211(()d)'(())'()(())'().xxxfttfxxfxx上限带入乘上限求导下限带入乘下限求导(2)洛必达法则（极限题型七）7广义积分三种形式：（1）()dafxx；（2）()dafxx；（3）()dfxx.解：定义：()duuaFfxx原式=limuuuFA（有限）收敛或不存在发散（三）定积分应用一般出现在综合题的最后一题，题型仅有两种：第一，