平面解析几何测试题带答案

1．(本小题满分12分)已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝22时，求直线l的方程．2．设椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A、B两点，点C是AB的中点，若|AB|＝22，OC的斜率为22，求椭圆的方程．3．(本小题满分12分)(2010·南通模拟)已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线l：y＝－2相切．(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)若AB是轨迹C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQ⊥BQ.4．已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝203，椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(ab0)的离心率为22，若圆与椭圆相交于A、B，且线段AB是圆的直径，求椭圆的方程．5．已知m是非零实数，抛物线)0(2:2ppxyC的焦点F在直线2:02mlxmy上.（I）若m=2，求抛物线C的方程（II）设直线l与抛物线C交于A、B两点，FAA1，FBB1的重心分别为G,H.求证：对任意非零实数m,抛物线C的准线与x轴的焦点在以线段GH为直径的圆外。6．(本小题满分14分)(2010·东北四市模拟)已知O为坐标原点，点A、B分别在x轴，y轴上运动，且|AB|＝8，动点P满足AP＝35PB，设点P的轨迹为曲线C，定点为M(4,0)，直线PM交曲线C于另外一点Q.(1)求曲线C的方程；(2)求△OPQ面积的最大值．7．(文)有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量各自都是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水、不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示，若40分钟后只放水不进水，求y与x的函数关系．8(理)已知矩形ABCD的两条对角线交于点M12，0，AB边所在直线的方程为3x－4y－4＝0.点N－1，13在AD所在直线上．(1)求AD所在直线的方程及矩形ABCD的外接圆C1的方程；(2)已知点E－12，0，点F是圆C1上的动点，线段EF的垂直平分线交FM于点P，求动点P的轨迹方程．9．已知直线l1过点A(－1,0)，且斜率为k，直线l2过点B(1,0)，且斜率为－2k，其中k≠0，又直线l1与l2交于点M.(1)求动点M的轨迹方程；(2)若过点N12，1的直线l交动点M的轨迹于C、D两点，且N为线段CD的中点，求直线l的方程．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(33，2)的入射光线l1被直线l：y＝33x反射，反射光线l2交y轴于B点，圆C过点A且与l1、l2都相切，求l2所在直线的方程和圆C的方程．11设)1,0,2(),1,1,3(),0,0,1(CBA为o——xyz内的点。（1）求矢量BC与CA的夹角，（2）求射影BCAB？12、求以直角坐标系中矢量2,2,1,3,4,2,1,0,3cba为三邻边作成的平行六面体的体积。13、求球面zzyx2222与旋转抛物面)(2322yxz的交线在xoy坐标面上的射影。14、求两平行平面1：035623zyx和2：056623zyx间的距离；并将平面035623zyx化为法式方程。15、一直线通过点且与),0,1,1(z轴相交，其夹角为4，求此直线的方程。16、求准线为3294222zzyx且母线平行于z轴的柱面方程。17、求过单叶双曲面11649222zyx上点)8,2,6(的直母线方程。18、（本题10分）设矢量baBbaA,2，其中2,1ba且ba，试求（1）为何值时BA；（2）为何值时，以A和B为邻边构成的平行四边形面积为6。19、（本题12分）设一平面垂直于平面0z，并通过从点)1,1,1(到直线001xzy的垂线，求此平面的方程。20（本题6分）试证明两直线1l：01zyx，2l：0111zyx为异面直线。1解：将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l与圆C相切，则有|4＋2a|a2＋1＝2.解得a＝－34.(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，得CD＝|4＋2a|a2＋1，CD2＋DA2＝AC2＝22，DA＝12AB＝2.解得a＝－7，或a＝－1.故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.2解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么A、B的坐标是方程组ax2＋by2＝1，x＋y－1＝0的解．由ax21＋by21＝1，ax22＋by22＝1，两式相减，得a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0，因为y1－y2x1－x2＝－1，所以y1＋y2x1＋x2＝ab，即2yC2xC＝ab，yCxC＝ab＝22，所以b＝2a.①再由方程组消去y得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0，由|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝2(x1－x2)2＝2[(x1＋x2)2－4x1x2]＝22，得(x1＋x2)2－4x1x2＝4，即(2ba＋b)2－4·b－1a＋b＝4.②由①②解得a＝13，b＝23，故所求的椭圆的方程为x23＋2y23＝1.3解：(1)依题意，圆心的轨迹是以F(0,2)为焦点，L：y＝－2为准线的抛物线．因为抛物线焦点到准线距离等于4，所以圆心的轨迹是x2＝8y.(2)证明：因为直线AB与x轴不垂直，设AB：y＝kx＋2.A(x1，y1)，B(x2，y2)．由y＝kx＋2，y＝18x2，可得x2－8kx－16＝0，x1＋x2＝8k，x1x2＝－16.抛物线方程为y＝18x2，求导得y′＝14x.所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是k1＝14x1，k2＝14x2，k1k2＝14x1·14x2＝116x1·x2＝－1.所以AQ⊥BQ.4解：∵e＝ca＝a2－b2a2＝22，∴a2＝2b2.因此，所求椭圆的方程为x2＋2y2＝2b2，又∵AB为直径，(2,1)为圆心，即(2,1)是线段AB的中点，设A(2－m,1－n)，B(2＋m,1＋n)，则(2－m)2＋2(1－n)2＝2b2，(2＋m)2＋2(1＋n)2＝2b2，|AB|＝2203⇒8＋2m2＋4＋4n2＝4b2，8m＋8n＝0，2m2＋n2＝2203⇒2b2＝6＋m2＋2n2，m2＝n2＝103，得2b2＝16.故所求椭圆的方程为x2＋2y2＝16.6解：(1)设A(a,0)，B(0，b)，P(x，y)，则AP＝(x－a，y)，PB＝(－x，b－y)，∵AP＝35PB，∴x－a＝－35x，y＝35(b－y).∴a＝85x，b＝83y.又|AB|＝a2＋b2＝8，∴x225＋y29＝1.∴曲线C的方程为x225＋y29＝1.(2)由(1)可知，M(4,0)为椭圆x225＋y29＝1的右焦点，设直线PM方程为x＝my＋4，由x225＋y29＝1，x＝my＋4，消去x得(9m2＋25)y2＋72my－81＝0，∴|yP－yQ|＝(72m)2＋4×(9m2＋25)×819m2＋25＝90m2＋19m2＋25.∴S△OPQ＝12|OM||yP－yQ|＝2×90m2＋19m2＋25＝20m2＋1m2＋259＝20m2＋1m2＋1＋169＝20m2＋1＋169m2＋1≤2083＝152，当m2＋1＝169m2＋1，即m＝±73时，△OPQ的面积取得最大值为152，此时直线方程为3x±7y－12＝0.7[解析]当0≤x≤10时，直线过点O(0,0)，A(10,20)，∴kOA＝2010＝2，∴此时直线方程为y＝2x；当10x≤40时，直线过点A(10,20)，B(40,30)，此进kAB＝30－2040－10＝13，∴此时的直线方程为y－20＝13(x－10)，即y＝13x＋503；当x40时，由题意知，直线的斜率就是相应放水的速度，设进水的速度为v1，放水的速度为v2，在OA段时是进水过程，∴v1＝2.在AB段是既进水又放水的过程，由物理知识可知，此时的速度为v1＋v2＝13，∴2＋v2＝13.∴v2＝－53.∴当x40时，k＝－53.又过点B(40,30)，∴此时的直线方程为y＝－53x＋2903.令y＝0得，x＝58，此时到C(58,0)放水完毕．综上所述：y＝y＝2x，0≤x≤1013x＋503，10x≤40－53x＋2903，40x≤58.8[解析](1)∵AB所在直线的方程为3x－4y－4＝0，且AD与AB垂直，∴直线AD的斜率为－43.又点N在直线AD上，∴直线AD的方程为y－13＝－43(x＋1)，即4x＋3y＋3＝0.由3x－4y－4＝04x＋3y＋3＝0，解得点A的坐标为(0，－1)．又两条对角线交于点M，∴M为矩形ABCD的外接圆的圆心．而|MA|＝0－122＋－1－02＝52，∴外接圆的方程为x－122＋y2＝54.(2)由题意得，|PE|＋|PM|＝|PF|＋|PM|＝|FM|＝52，又|FM||EM|，∴P的轨迹是以E、M为焦点，长半轴长为54的椭圆，设方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，∵c＝12，a＝54，∴b2＝a2－c2＝516－14＝116.故动点P的轨迹方程是x2516＋y2116＝1.9[解析](1)设M(x，y)，∵点M为l1与l2的交点，∴yx＋1＝kyx－1＝－2k(k≠0)，消去k得，y2x2－1＝－2，∴点M的轨迹方程为2x2＋y2＝2(x≠±1)．(2)由(1)知M的轨迹方程为2x2＋y2＝2(x≠±1)，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则2x12＋y12＝2①2x22＋y22＝2②①－②得2(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0，即y1－y2x1－x2＝－2×x1＋x2y1＋y2，∵N12，1为CD的中点，有x1＋x2＝1，y1＋y2＝2，∴直线l的斜率k＝－2×12＝－1，∴直线l的方程为y－1＝－x－12，整理得2x＋2y－3＝0.10[解析]直线l1：y＝2，设l1交l于点D，则D(23，2)．∵l的倾斜角为30°.∴l2的倾斜角为60°.∴k2＝3.∴反射光线l2所在的直线方程为y－2＝3(x－23)，即3x－y－4＝0.已知圆C与l1切于点A，设C(a，b)．∵⊙C与l1、l2都相切，∴圆心C在过点D且与l垂直的直线上，∴b＝－3a＋8①圆心C在过点A且与l1垂直的直线上，∴a＝33②由①②得a＝33b＝－1，圆C的半径r＝3，故所求圆C的方程为(x－33)2＋(y＋1)2＝9.11、解:0,1,1BC,1,0,1CA,………………………………….……2（1）21),(cosCABC，3),(CABC；…………………………………2（2）26BCprjAB。…………………………………………………………..212、解:2),,(cbaV。…………………………………………………………613、解:球面与旋转抛物面的交线为)(23222222yxzzzyx…………………………………………………………………3则在xoy坐标面上的摄影为00)(43322222zyxyx。…………………………………………………….314、解:3d；……………………………………………………………………….305767273zyx。……………………………………………………………..315、解:设通过点)0,1,1(的直线方程l为pznymx11，……………………..1由于l与z轴相交，得0100011p