直线方程几种形式的选择

1例谈直线方程几种形式的选择在求直线方程时，最后结果要用一般式表示。但在开始设直线方程时选用四种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）中的哪一种好呢，则要根据题设和结论的关系进行选择。本文准备通过事例来说明。1。已知斜率时，可设斜截式例1求斜率为43，且与坐标轴围成的三角形周长是12的直线L的方程。解：设直线L的方程为bxy43令x=0得y=b；令y=0得bx34。∴|b|+12||||3534bb，∴b=±4,∴直线L的方程为443xy。点评：在斜率已知的情况下，直线方程的斜截式有点类似于一次函数的形式，其中的b表示直线在y轴上的截距。2。已知直线过一点时，可设点斜式例2直线L过点P（2，3），且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点。当|PA|•|PB|最小时，求直线L的方程。思路1：引进斜率，设L方程为y-3=k(x-2)(k0)，则A)0,2(3k，B（0,3-2k）。因此|PA|•|PB|=12)44)(9(292kk，所以当k=-1时|PA|•|PB|取最小值12，此时直线L的方程为x+y-5=0。思路2：设L倾斜角为α（α为钝角），将其补角记为θ（θ为锐角）。则|PA|=sin3，|PB|=cos2，∴|PA|•|PB|=122sin12cossin6，因此当θ=450，即斜率k=-1时|PA|•|PB|取最小值12，此时直线L的方程为x+y-5=0。点评：设了点斜式后，常常需要求出直线在x轴和y轴上的截距，然后解题。3。与截距相关问题，可设截距式例3直线L过点P（4，3），且在x轴、y轴上的截距之比为1：2，求直线L的方程。解：设直线L方程为：12ayax，将点P（4，3）代入直线方程得，211a，∴直线L的方程为：2x+y-11=0。点评：截距式与直线在x轴和y轴上的截距相关，结合不等式知识解题。像上面的例2也可以考虑利用设直线的截距式来解，请大家试试看。4。适时应用“两点确定一条直线”例4若2x1-3y1=4,2x2-3y2=4,则经过两点A(x1,y1)、B(x2,y2)的直线方程为_____________。分析：由条件知，点A、B都在直线2x-3y=4上，而两点确定一条直线，故可得直线AB的方程即为2x-3y-4=0。本题可看作直线方程“两点式”的变式。例5过点M（0，1）作直线L，使它被两条已知直线L1：x-3y+10=0和L2:2x+y-8=0所截2得的线段AB被点M平分。求直线L的方程。解：设点A（a,b）在L1上，由题设知，点B（-a,2-b）必在L2上，∴08)2(20103baba∴24ba即A（-4，2）、B（4，0）根据两点式可得，直线AB方程为：x+4y-4=0。点评：以上用设点法借助直线方程的两点式而获得了简解。5。用直线方程几种形式，应注意弥补其缺陷例6过点（3，-2）且在两坐标轴上截距相等的直线共有几条？错解：设直线截距式方程为：1ayax，将（3，-2）代入得a=1，∴直线方程为：x+y-1=0。剖析：以上错解忽略了截距式使用的条件——截距不为0，因而出现了少解。事实上，当直线过原点时，其在两轴上截距均为0，也相等，这时设直线方程为y=kx，易得23k，此时直线方程是3x+2y=0。因此共有两条直线符合要求。例7经过点P（1，2）作直线L，使它到点A（-1，-1）的距离为2。求L的方程。错解：设L的方程为y-2=k(x-1)，即kx-y+(2-k)=0利用点到直线距离公式解得k=125，故L的方程为5x-12y+19=0。剖析：由作图可得有两条直线符合要求。为什么会少解呢？原来直线方程的“点斜式”只有在直线斜率存在时才适用，还有一条斜率不存在时的直线x=1它也符合条件：到A点的距离为2。因此L的方程有两解：5x-12y+19=0和x=1。点评：在直线方程的几种形式中，点斜式和斜截式必须在斜率存在的情况下使用，截距式必须在截距不为0且不与坐标轴平行时使用，两点式表示的直线必须不与坐标轴平行。直线形式直线方程局限性选择条件点斜式不能表示与x轴垂直的直线已知一个定点和斜率k已知一点，可设点斜式方程斜截式不能表示与x轴垂直的直线已知在y轴上的截距已知斜率，可设斜截式方程两点式不能表示与x轴、y轴垂直的直线已知两个定点已知两个截距截距式不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的的直线已知两个截距已知直线与坐标轴围成三角形的面积问题可设截距式方程一般式能表示所有的直线求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程