高中解析几何轨迹方程的求法小结

1一、动点的轨迹方程实质：该点所在的曲线方程，即以该点横坐标x和纵坐标y为未知数的方程。（也就是x与y的关系式，不能有其他字母）二、动点的轨迹方程求法：（1）单动点的轨迹问题——直接法＋定义法；（2）双动点的轨迹问题——代入法；（3）多动点的轨迹问题——参数法＋直接法1.定义法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，求出方程中的常数，即可得到轨迹方程。例1、已知ΔABC中，A(-1,0)，B(1,0)且AC，AB，BC三边成等差数列，求顶点C的轨迹方程新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆2.直接法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立（如两点间距离公式、点到直线距离公式、两直线垂直关系等），则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。3.参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t），y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0。例2．已知经过点P（4，0）的直线1l，经过Q（-1，2）的直线为l2，若1l⊥l2，求1l与l2交点S的轨迹方程。例3、点P与定点F（2，0）的距离和它到直线x=8的距离的比是1:2，求点P的轨迹方程2例4、一条线段AB的长为2，两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点M的轨迹。4.代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。例5.过点(2,0)A引圆224xy的弦交圆于P点，若2PMMA,求点M的轨迹方程.三、求轨迹方程的注意事项1、一定要设动点坐标为（x,y），其他的点只能设为（x1,y1）,（x2,y2）,在寻找（x1,y1）,（x2,y2）与动点（x,y）之间的联系2、在将几何条件转化为代数方程的过程中，要注意圆锥曲线定义和初中平面几何知识的应用，还会常用到一些基本公式，如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等。练习：1.P是椭圆5x2+9y2=45上的动点,过P作椭圆长轴的垂线,垂足为M,则PM中点的轨迹方程为A.20x2+9y2=45B.5x2+36y2=45C.20x2+9y2=180D.5x2+36y2=1802.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积为()A.B.4C.8D.93、椭圆的两个焦点和短轴两个顶点，是一个含60°角的菱形的四个顶点，则椭圆的离心率为()(A)21(B)23(C)33(D)21或234.已知A(-1,0),B(2,4),ABC的面积为10,则动点C的轨迹方程为()3A.4x-3y-16=0或4x-3y+16=0B.4x-3y-16=0或4x-3y+24=0C.4x-3y+16=0或4x-3y+24=0D.4x-3y+16=0或4x-3y-24=05、椭圆13622yx中,F1、F2为左、右焦点,A为短轴一端点,弦AB过左焦点F1,则ABF2的面积为()（A）3（B）233（C）34（D）46.若椭圆22114xyk的离心率为12，则k；7.已知椭圆22:12xcy的两焦点为12,FF,点00(,)Pxy满足2200012xy,则|1PF|+2PF|的取值范围为_______8.椭圆22221xyab(0)ab的四个顶点为,,,ABCD，若四边形ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率为；9.倾斜角为4的直线交椭圆x2+4y2=4于AB两点,则线段AB的中点的轨迹方程为.10、过点P(2,4)作互相垂直的直线l1,l2，若l1交x轴于A，l2交y轴于B，求线段AB中点M的轨迹方程。411、设椭圆C：22221(0)xyabab的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,2AFFB.（1）求椭圆C的离心率；（2）如果|AB|=154，求椭圆C的方程.12、已知椭圆22221xyab（ab0）的离心率e=32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0）.（i）若42AB5||=，求直线l的倾斜角；（ii）若点Qy0（0，）在线段AB的垂直平分线上，且QAQB=4.求y0的值.