2.2.2椭圆的简单几何性质(第二节课)

2.2.2椭圆的简单几何性质第二章圆锥曲线与方程图形方程范围对称性焦点顶点离心率012222babyax(c,0)、(c,0)(0,c)、(0,c)(a,0)、(0,b)|x|a|y|b|x|b|y|a关于x轴、y轴、原点对称(b,0)、(0,a)ace想一想焦点在ｙ轴上的椭圆的几何性质又如何呢？)0(12222babxayxA2B2F2yOA1B1F1yOA1B1xA2B2F1F2(0e1)例4求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标并画出简图．解：把已知方程化成标准方程1452222yx这里，31625,4,5cba椭圆的长轴长和短轴长分别是82,102ba离心率6.053ace例题精析四个顶点坐标分别为)4,0(),4,0(),0,5(),0,5(2121BBAA焦点坐标分别为0,3,0,321FF基本量：a、b、c、e、（共四个量）基本点：四个顶点、两个焦点（共六个点）.,,.||,.||,.,.,,.)(,.所在的椭圆方程求截口已知集中到另一个焦点经过旋转椭圆面反射后发出的光线一个焦点由椭圆上片门位于另一个焦点上一个焦点灯丝位于椭圆是椭圆的一部分称轴的截口过对的一部分的曲面其对称轴旋转一周形成椭圆绕是旋转椭圆面电影放映灯泡的反射镜一种如图例BACcmFFcmBFFFBCFFFFBAC548211125211212121xy2F1FABCDEO透明窗反射镜面xy2F1FABCDEO透明窗反射镜面1112.图.,示椭圆镜面工作原理演操作打开的几何画板.,.111122222byax圆方程为设所求椭的直角坐标系所示建立图解...||||||,22221212215482FFBFBFFBFRt中在所以由椭圆的性质知,||||,aBFBF221;....)||||(1454828221212221BFBFa....43252142222cabxy2F1FABCDEO透明窗反射镜面1112.图...,143142222yx所求的椭圆方程为所以40254456.,,:,.MxyFlxM例点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数求点的轨迹254:,,dMlxM解.设是点到直线的距离根据题意点的轨迹就是集合xyOFMHdl1212.图.|||54dMFMP.54425422xyx由此得22925225,,,xy将上式两边平方并化简得106,M所以点的轨迹是长轴、短轴长分别为、的椭圆221259.xy即直接法：建→设→限→代→化分析:设00(,)Pxy是椭圆上任一点,试求点P到直线45400xy的距离的表达式.000022454045404145xyxyd且22001259xy尝试遇到困难怎么办?作出直线l及椭圆,观察图形,数形结合思考.几何画板显示图形例7.已知椭圆221259xy,直线l:45400xy,椭圆上是否存在一点,到直线l的距离最小?最小距离是多少?lmm思考：最大距离为多少？例7.已知椭圆221259xy,直线l:45400xy,椭圆解:设直线m平行于直线l，则直线m的方程可写成450xyk联立方程组224501259xykxy上是否存在一点,到直线l的距离最小?最小距离是多少?消去y，得222582250xkxk令△=2264425(225)0kk解得k=25，或k=-25由图可知，当k=25时，直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近，此时直线m的方程为4x-5y+25=0直线m与直线l间的距离22|4025|15414145d1541.41所以最小距离是654141