4.3.2 空间两点间的距离公式

4.3.2空间两点间的距离公式(1)掌握空间两点间的距离公式,(2)会应用距离公式解决有关问题.(3)通过对空间两点间距离公式的探究与推导,初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决空间问题的基本思想方法ABA'B'D'C'CD建筑用砖通常是长方体，我们可以拿尺子测量出一块砖的长、宽和高，那么怎样测量它的对角线AC′的长度呢？直接测量比较困难，我们可以用间接的方法去测量。如果有三块砖，你如何测量AC′的长度，两块呢？1.思考：类比平面两点间的距离公式的推导，在空间直角坐标系中，点P（x1，y1，z1）和点Q（x2，y2，z2）的距离，怎么求？(,,)Pxyz空间中任意一点的坐标到原点之间的距离公式会是怎样呢？（1）先看简单的情形OyzxP(x,y,z)B(x,y,0)A如图所示，设点P在平面上的射影是B.则点B的坐标是xoy(,,0).xy在平面上，有xoy22.OBxyRtOBP在中，根据勾股定理22,OPOBBP,BPz这说明，在空间直角坐标系中，空间中任意一点(,,)Pxyz与原点的距离222.OPxyz222.OPxyz所以探究：OP2222xyzr如果是定长r,那么表示什么图形？OxyzP在空间中，到定点的距离等于定长的点的轨迹以原点为球心，半径长为r的球面．OyzxMP1P2NM1N2N1M2H1111(,,)Pxyz2222(,,)Pxyz（2）如果是空间中任意一点到点之间的距离公式会是怎样呢？如图，设1111(,,)Pxyz2222(,,)Pxyz是空间中任意两点，且1111(,,)Pxyz2222(,,)Pxyz在xoy平面上的射影分别为M,N,那么M,N的坐标为11(,,0)Mxy22(,,0)Nxy在xoy平面上,222121()().MNxxyyOyzxMP1P2NM1N2N1M2H过点1P作的垂线，垂足为H,2PN则1122,,MPzNPz所以221.HPzz12RtPHP在中，2212121()(),PHMNxxyy因此，空间中任意两点1111(,,)Pxyz2222(,,)Pxyz之间的距离22212212121()()().PPxxyyzz根据勾股定理222221212212121()()()PPPHHPxxyyzz212MM222(74)(13)(21)14,223MM222(57)(21)(32)6,231MM222(45)(32)(13)6,23MM31,MM原结论成立.例1求证以)1,3,4(1M、)2,1,7(2M、)3,2,5(3M三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解:答案：(1).6(2).70练习：1.求下列两点的距离(1)(2,3,5),(3,1,4)(2)(6,0,1),(3,5,7)ABAB例2.在z轴上求与两点A(4,1,7)和B(3,5,2)等距离的点．149z解：设所求的点为M(0,0,z)，依题意有解之得22MAMB222222(04)(01)(7)(30)(50)(2)zz即所以所求点的坐标是4(0,0,).9答案：(0,0,3)练习：在z轴上求一点M，使点M到A（1,0,2）与点B（1，-3,1）的距离相等.121、已知两点M（-1,0,2），M（0,3,-1），此两点间的距离为（）A.19　　Ｂ.11　C.19D.11Ａ２、在ＲtΔＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°,三点坐标为Ａ（２，１,１），Ｂ（１,１,２）Ｃ（x,0,1),则x=____２1、会画空间直角坐标系；2、已知点写出其空间直角坐标；3、空间直角坐标系中距离公式.不要害怕批评。当你提出新的观念，就要准备接受人批评。