第11章光与物质作用的全量子理论

26第十一章光与物质作用的全量子理论研究了电磁场的量子化之后，电磁场和原子都能用量子理论来描述，便可建立光与物质相互作用的全量理论。11.1泡利算符与相互作用哈密顿量在研究光与物质相互作用时，总哈密顿量包括三部分：自由原子的哈密顿量AH，自由场的哈密场量FH，场与原子相互作用的哈密顿量FAH。AFFAHHHH(11.1.1)图11.1.1示意了光场与原子的耦合。图11.1.1场与原子的耦合示意图对一个二能级原子，有如下标识：上能级(激发态)的本征态：e，下能级(基态)的本征态：g。即二能级体系的基矢是：e，g，这样，态矢量可以表示为：egcecg基矢的矩阵形式为：10e,01g,10e,01g容易验证e和g是正交归一的、完备的：1eegg,0egeg,1eegg27这样，态矢可以表示为：1001eegeggccecgccc,egcc二能级体系密度矩阵可定义为：******eeeegegggeggcccccccccccc上能级本征能：ee，下能级本征能：gg。能级差为：egeg。未受微扰的哈密顿量为：00eAgH，12FHaa(11.1.2)为了得到相互作用哈密顿量，只而把半经典理论的相互作用哈密顿量中的电磁场量子化。回顾半经典的相互作用哈密顿量是：半经典理论下，光场与二能体系相互作用的哈密顿量是：01(,)10IxHEzt(11.1.3)其中场是经典的(,)xEzt，原子是量子的。用量子化的场(,)xEzt代替其中的经典理论，则得到全量子化的相互作用哈密顿量：00101sin()()()1010FAHEkzaagaa(11.1.4)0sin()gEkz(11.1.5)001()()010egHaagaa(11.1.6)可将其中的矩阵写成泡利矩阵。泡利矩阵有关表示总结束如下：0110x,00yii,1001z(11.1.7)011(i)002xy(11.1.8)001(i)102xy(11.1.9)281000,0010(11.1.10)[,]z(11.1.11)式(11.1.6)可写成：01()()02egHaagaa(11.1.12)1()()2egHaagaa(11.1.13)如果把二能级原子的能量选在二能级中间，则上能级为12eg，下能级能为12eg。这样，哈密顿量为：1001012010120212egeAegggegzegzHS(11.1.14)式中：122zzeeggS(11.1.15)1()()2egzHaagaa(11.1.16)11.1.1泡利算符的物理意义和性质二能级体系的本征态的泡利矩阵表示：eg,ge,zeegg(11.1.17)下面看看,,z的物理意义和对易关系gegge,0eege(11.1.18)egegg,0ggeg(11.1.19)因此，作用于下能级本征态，则变为上能级本征态，即若一个原子原来在低能级，经过作用，29则原子出现于上能级，相当于下能级原子数减少一个，上能级原子数增加一个。因此，称为上升算符；同理，使上数子数减少一个，下能级粒子数增加一个，因此，称为下降算符。11.1.2旋转波近似将相互作用哈密顿量写到相互作用表象，注意场与原子算符这里是独立的，这样有：i()/i()/()0011iii()/i()/002201e()e1001e()eee10AAeeggHHFtHHFtIFAtaataatHgaagaa(11.1.20)为了揭示其中各项的物理意义和求出旋转波近似下的相互作用哈密顿量，需要利用如下的关系式：1()()nnaaaaaa(11.1.21)可以证明，在相互作用表象下，场与原子相互作用的哈密顿量为：()iiiii()i()i()i()eeeeeeeeIttttFAttttHgaagaaaa(11.1.22)其中各项代表的物理意义如图11.1.2所示。图11.1.2旋转波近似。(a)共振过程；(b)非共振过程现简要说明如下：a是原子从e跃迁到g并发出一个光子；a是原子从g跃迁到e并吸收一个光子。这两个过程都是贡献大的项i()et。a是原子从g跃迁到e并放出一个光子；a是原子从e跃迁到g并吸收一个光子。它们随时间变化是i()et。a和a是严格或近似严格地符合能量守恒定律，称为实过程。按照量子力学，在作用时间很短30破坏能量守恒定律是允许的。但我们知道a和a对光与二能级原子的作用之贡献可以忽略。这就是我们在半经典理论中已用过的旋转波近似。因此旋转波近似下相互作用哈密顿量是：()i()i()eeIttFAHgaa(11.1.23)11.2二次量子化与相互作用哈密顿量另一个表述光与物质相互作用的方式是二次量子化的方法，在偶极近似下，二次量子化的方法与上述方法一致的。11.2.1二次量子化如果把光场按本征函数()uz展开(,)()()EztaaNuz其中()uz是本征函数，N是归一化因子。把展开的振幅变满足一定对易关系的算符，就把电磁场量子化了。既然电子和其也基本粒子也有波动性，用波函数(,)xt描述，是否也可用类似方法把(,)xt量子化呢？这不但是可能的，而且是必须的，在历史上对(,)xt的量子化比光场(,)Ezt的量子化更晚，部分原因是发现基本粒子的波动性更晚些。把(,)xt按本征函数j展开，(,)()jjjxtbx，ieEjtjjbb(11.2..1)其中j是正交归一的本征函数，jE是本征能量，在从经典力学过渡到量子力学时，曾引入对易关系,ixp这称为第一次量子化。而把(,)xt及薛定谔方程的量子化叫做第二次量子化。与电磁场的量子化相似，若把(,)xt的展开系数看成复数，就是一次量子化的波函数，若把展开系数看成满足一定易关系的算符，就是二次量子化了。这里(,)xt也就晟为算符，正如(,)Ezt成为算符一样。二次量子化的结果得到粒子数算符ˆN为：ˆNbb(11.2.2)312ˆˆNbbN(11.2.3)ˆN的本征值为：2ˆˆNnNn(11.2.4)2nnnn(11.2.5)2,1,0nnn(11.2.6)即ˆN的本征值为0和1，这就是泡利不相容原理，,bb描述费米子。11.2.2费米子算符的作用费米子算符的关系：{,}0jibb(11.2.7){,}jiijbb(11.2.8)22()0bb(11.2.9)00b(11.2.10)10b(11.2.11)jjjb(11.2.12)*jjjb(11.2.13)用矢量势表示的相互作用哈密顿量包括两部分：,1FAeHmAP(11.2.14)22,22FAeHmA(11.2.15)将A的表达式代入，则得到,1,,,()FAijijijkHbbgaa(11.2.16)11.2.3光与二能级原子作用的偶极近似光与二能级原子相互作用，其相互作用能用：32()VEer(11.2.17)用矢量势表示相互作用为：emAP,222emA(11.2.18)可以证明，在偶极近似下emAP和()Eer是一样的。11.3全量子化的Maxwell-Bloch方程这里，用海森堡表象求出Maxwell-Bloch方程。考虑一个二能级原子与单模光场作用()egzHaagaa(11.3.1)11[,][,()]iiaaaaagaa(11.3.2)111[,][,()]iii2iegzzagaaga(11.3.3)iizga(11.3.4)1[,()]2i()izzgaagaa(11.3.5)上面的式子就是全量子化的MB方程，也是哈肯激光理论的重要基础。