博弈论习题集.doc

博弈论习题集1．在下表所示的战略式博弈中，找出重复删除劣战略的占优均衡表1.12．（投票博弈）假定有三个参与人（1、2和3）要在三个项目（A、B和C）中选中一个。三人同时投票，不允许弃权，因此，每个参与人的战略空间Si=｛A，B，C｝。得票最多的项目被选中，如果没有任何项目得到多数票，项目A被选中。参与人的支付函数如下：U1(A)=U2(B)=U3(C)=2U1(B)=U2(C)=U3(A)=1U1(C)=U2(A)=U3(B)=0求解以上博弈的所有纯战略纳什均衡。3．求解以下战略式博弈的所有纳什均衡表1.3S1S2LMRT7，22，73，6B2，77，24，54．考虑一个工作申请的博弈。两个学生同时向两家企业申请工作，每家企业只有一个工作岗位。工作申请规则如下：每个学生只能向其中一家企业申请工作；如果一家企业只有一个学生申请，该学生获得工作；如果一家企业有两个学生申请，则每个学生获得工作的概率为1/2。现在假定每家企业的工资满足：W1/2W22W1，则问：a．写出以上博弈的战略式描述b．求出以上博弈的所有纳什均衡5．（库诺特博弈）假定有n个库诺特寡头企业，每家企业生产成本函数为cq，市场逆需求函数是P=a-Q，其中P是价格，Q=Σqi是总供给，a是大于c的常数。企业i的战略是选择自身产量qi最大化自己的利润，即其他企业的产量q-i；选择自身产量最大化自己的利润。求解以上博弈的纳什均衡，以及均衡产量和价格如何随n的变化而变化。6．（伯川德博弈）假定两个寡头企业之间进行价格竞争，两企业生产的产品是完全替代的，S1S2LMRU4,35,16,2M2,18,43,6D3,09,62,8并且两家企业的生产成本函数为cq。市场逆需求函数是P=a-Q，Q=Σqi是总供给，a是大于c的常数。求出企业i所面临市场需求以及纳什均衡时的价格。7．（差异价格竞争）假定两个寡头企业进行价格竞争，但产品并不完全相同，企业i的市场需求)2,1,(),(jippappqjijii，两家企业的生产成本函数为cq，求两个寡头同时选择价格时的纳什均衡。8．用战略式表示下图的扩展式博弈12a2b2W1Y19，10/30，3W1Z120/3，16/32/3，4X1Y119/3，410/3，5X1Z14，64，69．在市场进入模型中，市场逆需求函数为p＝13-Q，进入者和在位者生产的边际成本都为1，固定成本为0，潜在进入者的进入成本为4。博弈时序为：在位者首先决定产量水平；潜在进入者在观察到在位者的产量水平之后决定是否进入；如果不进入，则博弈结束，如果进入，则进入者选择产量水平。求解以上博弈精炼纳什均衡。10．两位投资者各自将D存在银行，而银行则将他们资金用于长期投资。本博弈的规则如下：在第一期，两位投资者同时决定是否收回资金。如果任何投资者收回资金，则项目被迫清算，项目收益为2r。此时抽取资金投资者收益为D，而未抽回资金投资者收益为2r－D；如果两位投资者都抽回资金，则投资者收益都为r；如果两者都未抽回资金，博弈进入第二期。第二期项目成熟且项目收益为2R。此时如果两投资者都抽回资金则收益为R；如果只有一位抽取资金，抽回资金投资者收益为2R-D，未抽回为D；如果两者都不抽回资金则收益为R，假定RDrD/2，求解子博弈精炼纳什均衡。11．在囚徒困境中，“针锋相对”战略定义为：（1）每个参与人开始选择“抵赖”；（2）在t阶段选择对方在t-1的行动。假定贴现因子δ＝1，证明以上战略不是子博弈精炼纳什均衡。12．考虑如下战略式博弈重复两次，在第二阶段开始时能够观察到第一阶段的博弈结果，假定贴现因子是1，则x满足什么条件的情况下（4，4）可以作为第一阶段博弈的均衡结果。13．如下的双寡头市场战略性投资模型：企业1和企业2目前的单位生产成本都c＝2。企业可以引进一项新技术使单位生产成本降至c＝1，而该项技术需要的投资为f，企业2可以观察到企业1的投资决策，在企业1做出是否投资的决策之后，两个企业同时选择产量。在以上两阶段博弈中市场逆需求为p＝14-Q，问f取什么值时，企业1将投资引进新技术。14．考虑一个政策采纳博弈，存在两个参与人，政策建议者与政策采纳者。政策建议者首先剔除政策建议s1，并且s1∈R。政策采纳者观察到s1决定是否采用，如果采用则执行政策s1，否则执行s0。现在假定政策建议者效用函数是12us，而政策采纳者的效用函数是222usb，其中2s为执行的政策，b为外生参数，表示两者之间的利益冲突。问以上博弈的精练纳什均衡。15．考虑一个承诺博弈，存在两个参与人。参与人2首先行动，选择行动2a，2a的取值范围是0,1。参与人1观察到参与人2的行动，决定向参与人2转移支付t，但是参与人1也可以事先确定支付规则2ta。现在假定参与人2的效用函数为22utca，参与人1的效用函数为21221uat，其中2ca表示参与人采取行动的成本，且20a时为0，21a时为1/2。（1）如果参与人1没有承诺能力，可以随意修改事先宣布的支付规则，则此时的子博弈精练纳什均衡。（2）如果参与人1有承诺能力，只能按照事先确定的支付规则进行支付，则此时的子博弈精练纳什均衡。16．两个厂商在市场进行价格竞争，厂商1首先确定价格水平，厂商2在观察厂商1的价格水平之后决定价格水平。厂商1和厂商2的产品是完全同质的，且市场逆需求函数是P=a-Q，问以下条件下的精炼纳什均衡的价格：（1）．如果厂商1和厂商2的生产成本函数为cq（ca）（2）．如果厂商1和厂商2的生产成本函数为q2/217．在霍特林价格竞争模型中，两个厂商的生产边际成本都是c，运输成本参数为t。博弈进行两期，在第一阶段两个厂商同时在线性城市上选择自己的位置；第二阶段在观察到两者位置后选择自己的价格。（1）．如果运输成本为线性函数，证明以上博弈不存在纯战略精炼纳什均衡（2）．如果运输成本为二次型函数（运输成本为tx2），证明以上博弈的精炼纳什均衡的结果是两个厂于城市两端。18．在三寡头的市场中，市场的逆需求函数为三家产量之和QQap,，每家企业的不变边际成本为c，固定成本为0。如果企业1首先选择产量，企业2和企业3观察到企业1的产量后同时选择产量，则均衡时的市场价格。19．考虑两个工人之间的锦标赛。每个工人的生产函数1,2iiiyei，其中iy表示产量，ie表示努力水平，i表示随机干扰项。博弈时序如下：第一阶段，企业指定锦标赛中赢者工资hW和输者lW；第二阶段工人观察工资的规则后同时选择努力水平；第三阶段产量得以实现，工资支付。企业为风险中性，工人的效用的函数2,2euWeW，工人的保留效用为0。i是服从均值为0，方差为2的正态分布，1和2独立。问在对称均衡时，hW和lW为多少。20．有n个完全相同且每个企业的生产函数为cq，市场需求Q=a-p，假定博弈重复无穷次，每次每个企业的定价和产量都能被下一阶段所有企业观察到，每个企业都使用“触发战略”。假定每个企业的贴现因子都相同，问在以下条件下，垄断价格作为子博弈精炼纳什均衡结果出现的最低贴现因子：（1）．如果每个阶段企业之间进行古诺博弈，则最低贴现因子。（2）．如果每个阶段企业之间进行伯川德博弈，则最低贴现因子。21．考虑如下贝叶斯博弈：（1）自然决定支付矩阵（a）或（b），概率分别为u和1-u；（2）参与人1知道自然的选择，即知道自然选择支付矩阵（a）或（b），但是参与人2不知道自然的选择；（3）参与人1和参与人2同时行动。给出这个博弈的扩展式表述并求纯战略贝叶斯均衡。表21.1.aS1S2LRT1，10，0B0，00，0表21.1.bS1S2LRT0，00，0B0，02，222．两个企业同时决定是否进入一个市场，企业i的进入成本),0[i是私人信息，i是服从分布函数)(iF的随机变量以及分布密度)(if严格大于零，并且1和2两者独立。如果只有一个企业进入，进入企业i的利润函数；如果两个企业都进入，则企业i的利润函数为id；如果没有企业进入，利润为零。假定m和d是共同知识，且md0，计算贝叶斯均衡并证明均衡是唯一的。23.假设一个家长和他的孩子进行如下的博弈：第一，小孩选择一个行动A，可以使孩子获得收入Ic(A),并使得家长得到收入Ip(A)（可以认为Ic(A)为孩子减去因为A发生的各种成本后的净收益）；第二，家长观察到收入Ic(A)和Ip(A)，然后选择给孩子的奖励或者惩罚B。孩子的收益为U(Ic+B),，家长的收益为V(Ip-B)+k(Ic+B)，其中k0反映出家长关心孩子的福利。假定行动是一个非负数字，A≥0，收入函数Ic(A)和Ip(A)为严格凹且分别能够达到最大值；奖励或惩罚B为正或为负的数字；且效用函数U和V递增并严格凹。证明：孩子选择可使全家收入Ic(A)+Ip(A)最大化的行为（尽管在效用函数中，只有家长显示出利他的特点）。24.一个建筑公司每到有工程合同才雇用临时工人。考虑某项工程中公司与工人的劳动-工资博弈；工人受雇于该公司的机会成本是0；工人可以老实地干活，为公司创造利润y，但这需要付出劳动成本l，yl0；工人也可以受雇后不干活，这不需任何劳动成本，同时创造的利润也是0。假设公司与工人在工程结束之前没有任何工资合同，它只是在雇用期满后才决定付给每个工人的工资额w。(a)如果该建筑公司在未来的10年内每年有一项相同的工程，证明：无论公司的利润贴现因子是多少，唯一的子博弈完美均衡是：在每一项工程中，无论工人是否干活，公司向工人付的工资额w都是0；工人不干活。(b)如果该建筑公司依次有无穷多个工程，而下一期工人又能看到以前的工资政策。证明：只要充分接近1，每一期工人都努力干活将是一个子博弈完美均衡战略。25．考虑如下结构的古诺博弈。市场逆需求函数Qap，两个企业成本函数iicqc；市场需求是不确定的，Haa的概率为，Laa的概率为1；企业1知道a的确切取值，企业2不知道，但是知道a的概率分布。现在假定两个企业同时选择产量水平，caaLH并且以上博弈结构是共同知识，求解以上博弈的贝叶斯纳什均衡。26．考虑如下非对称信息的产品差异化的伯川德博弈：企业i的市场需求jiiipbpaq，两个企业生产成本都为零；b1取值是bH或bL且bHbL0，且b1=bH的概率为，而LHbbb)1(2；b1是企业1的私人信息，b2是共同信息。现假定两个企业同时选择价格，以上博弈结构是共同知识，求解以上博弈的贝叶斯纳什均衡。27．考虑两个参与人的公共物品供给模型。参与人1和2同时决定是否提供某项公共物品，提供公共物品是0－1决策。如果一个参与人i已经提供公共物品，则每个参与人j都可以得到效用1。参与人i提供公共物品成本ci都是定义域在],[cc，分布函数为F(.)，而且提供成本是参与人私人信息。（1）．如果成本服从［0，2］均匀分布，求解其对称均衡。28．在n人参与的私人价值拍卖，参与人的类型Vi都服从［0，M］上的均匀分布，参与人的类型Vi是私人信息，Vi的分布是共同知识。（1）．如果实行一级价格拍卖，则求对称的贝叶斯纳什均衡。（2）．如果实行二级价格拍卖，则求其贝叶斯均衡。（3）．在以上两种类型拍卖中，证明拍卖人的期望收入相同。29．考虑一个不完全信息两人博弈的消耗战模型。两个参与人同时出价iS，并且iS的取值范围为【0，∞）。每个参与人类型空间i是参与人的私人信息，取值范围为【0，∞），对应的分布函数为iF，同时1和2两者是独立的。现在假定参与人的效用函数为iius如果ijss，反之则iiius。（1）证明参与人最优出价战略是i的递增函数。（2）如果1expF，证明以上博弈存在一个非对称均衡。30.试给出下述信号博弈的纯战略均衡中的混同均衡和分离均衡(8,1)(1,2)1a发送者1a2m1t1m2a5.02a(2,7)(10,8)接收者自然N接收者(6