高等数学(上册)教案04 无穷小于无穷大、无穷小的比较

第1章函数、极限与连续无穷小与无穷大【教学目的】：1.了解无穷小与无穷大的定义；2.掌握无穷小的性质；3.掌握无穷小和无穷大的关系；4.学会两个无穷小量的比较；5.熟练使用等价无穷小计算极限。【教学重点】：1.掌握无穷小的性质；2.学会两个无穷小量的比较；3.熟练使用等价无穷小计算极限。【教学难点】：1.学会两个无穷小量的比较；2.熟练使用等价无穷小计算极限。【教学时数】：2学时【教学过程】：1.3.1无穷小量1、无穷小量定义1如果当0xx（或x）时，函数)(xf的极限为0，那么就称函数)(xf为0xx（或x）时的无穷小量，简称无穷小．记作0lim0xfxx（或0limxfx）注意：（1）)(xf是否为无穷小量与自变量的变化过程密切相关．0x时，xsin是无穷小量，而2x时，xsin不是无穷小量.（2）无穷小量不是一个很小的数，而是极限为零的一个变量．特殊地，函数0)(xf，它在自变量的任何变化过程中均为无穷小量．2、无穷小的性质性质1有限个无穷小量的代数和是无穷小量．性质2有限个无穷小量的乘积是无穷小量．性质3有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量．特别地，常量与无穷小量的乘积是无穷小量．例1求xxx1sinlim0．解因为0lim0xx，所以x是0x时的无穷小；而|x1sin|1，所以x1sin是有界函数，根据无穷小的性质3，可知01sinlim0xxx．1.3.2无穷大量定义2如果当0xx时，函数)(xf的绝对值无限增大，那么称函数)(xf为当0xx时的无穷大量，简称无穷大.如果函数)(xf为当0xx时的无穷大，那么它的极限是不存在的．但为了便于描述函数的这种变化趋势，也称“函数的极限是无穷大”，并记作)(lim0xfxx例如：当0x时，x1无限增大，所以当0x时x1是无穷大量．即xx1lim0.定理1在自变量的同一变化过程中，如果函数)(xf是无穷大量，那么)(1xf是无穷小量；反之，如果函数)(xf是无穷小量，且)(xf≠0，那么)(1xf是无穷大量．1.3.3无穷小的比较定义3设,均为x的函数0lim0xx，0lim0xx，且0（0x可以是或），(1)如果0lim0xx，则称当0xx时是的高阶无穷小，或称是的低阶无穷小，记作)(o，(0xx)；(2)如果Caxlim，(0C)，则称当0xx时与是同阶无穷小；特别地，当1C时，称当0xx时与是等价无穷小，记作~(0xx)．常用的等价无穷小为：当x0时：xx~sin，xx~tan，xx~arcsin，xx~arctan，221~cos1xx，xex~1，xx~)1ln(，xnxn1~11.例6求xxexxx2sin)cos1()1(lim20．解因为x0时xex~1，x2sin2x，xcos1x221，所以1221lim2sin)cos1()1(lim22020xxxxxxexxxx.【教学小节】：无穷小与无穷大是极限运算的重要工具。通过本节的学习，了解无穷小与无穷大的定义及关系，掌握无穷小的性质，并学会比较两个无穷小量的方法。【课后作业】：能力训练：P232（4、6）、3、5