高等数学(微积分)课件--§92一阶微分方程

19.2一阶微分方程最基本的微分方程是一阶微分方程。一阶微分方程的一般形式为F(x,y,y’)=0或y’=f(x,y),其中F(x,y,y’)是x,y,y’的已知函数；f(x,y)是x,y的已知函数。2一、可分离变量方程分离变量方程：dxxfdyyg)()(可分离变量的微分方程：通过适当变形，能够转化为分离变量方程5422yxdxdy例如,2254dxxdyy解法设函数)(yg和)(xf是连续的,dxxfdyyg)()(分离变量法设函数)(yG和)(xF是依次为)(yg和)(xf的原函数,CxFyG)()(为微分方程的解.3例题讲解例1求解微分方程的通解xydxdy2解分离变量,2xdxydy两端积分,2xdxydyCxy2ln.2为所求通解xCey4例题讲解例2求解微分方程的通解0)7(22dxyedyexx解分离变量,722dxeeydyxx两端积分,722dxeeydyxxCeyx)7ln(21ln2xxceCeey22775例题讲解例3求解微分方程的通解dxxyydyxydyxdx222334解分离变量dyyxydxxyx)33()24(22两端积分,231222dyyydxxxCyx)2ln(23)1ln(22)0()2(12322cycxdyyydxxxdyxydxyx22222312)1(3)2(26例题讲解例4*求解微分方程的特解以及的通解2)1(,)1(122'yxxyyy解分离变量,)1(1122dxxxdyyy两端积分,)11()1(1222dxxxxxxdxdyyy)0()1)(1(22222ccxxcyx通解：22210)1)(1(10,2)1(xyxcy特解：7例题讲解例5商品的需求量Q对价格弹性为－kp，且最大需求量为50（即Q(0)=50）,则Q对p的函数关系为_____?kpdpdQQp解分离变量两端积分,kdpQdQkpCkpceeQCkpQlnkpeQcce5050,500＝故8课堂练习::1求下列微分方程的通解0)1(32xdxdyy解,0)1(32dxxdyy,两边积分.41)1(3143Cxy得,分离变量,)1(32dxxdyy得浙江财经学院本科教学课程----经济数学(一)微积分AC手机网课堂练习::2给初始条件的特解求下列微分方程满足所;,lnsin)1(2eyyyxyx4,0sin)1(cos)2(0xxyydyeydx11课堂练习答案;,lnsin)1(2eyyyxyx解分离变量，,sinlnxdxyydy得两边积分，),cot(csclnln)cotln(csclnlnxxCyCxxy或得,2eyx再由,1C得.cotcsclnxxy故所求解是12课堂练习答案4,0sin)1(cos)2(0xxyydyeydx解,分离变量,01cossinxedxdyyy得两边积分，,cos1ln)1ln(coslnyCeCeyxx或得,40xy再由,22C得.cos221yex即13二、齐次微分方程)(xyfdxdy形如的微分方程称为齐次方程.解齐次方程的基本思路：将齐次方程转化为分离变量方程解齐次方程的基本方法：变量变换法具体解法：作变量代换,xyu,xuy即,dxduxudxdy代入原式),(ufdxduxu.)(xuufdxdu即可分离变量的方程14齐次微分方程的解,0)(:1时当uuf,ln)(1xCuufdu得,)(uCex即）（uufduu)()(,代入将xyu,)(xyCex得通解xydxdyxyxyfuuf,)(,)(:2即时当cyxydyxdx||ln||ln,||||yexc得齐次方程的通解15例题讲解例：求齐次微分方程22232363yxyxydxdyx)()(23)(6)(323xyfxyxyxydxdy解：xduudxdyuxyuxy,,令232363uuudxduxu23233uuudxdux16例题讲解（续）分离变量方程：duuuuduuuuxdx)31(323232cuuxduuuuxdx|3|ln21||ln||ln)31(22223222333xycyxxyxycxxyuucux代入，将17例题讲解例：xyxydxdytanuudxduxudxdyuxyuxytan,解：令xycxcuxuduxdxuduxdxsin|sin|ln||lntantan18例题讲解例：已知生产某种产品的总成本C由可变成本与固定成本两部分构成。假设可变成本y是产量x的函数，且y关于x的变化率等于产量平方与可变成本平方之和(x2+y2)除以产量与可变成本之积的二倍(2xy)[即dy/dx=(x2+y2)/(2xy)];固定成本为1；x=1,y=3.求总成本函数C＝C(x)?uxyxyuxyxydxdyxyyxdxdy,)(21)(2222令解：19例题讲解(续)cxyxcuxcuuxduuuduuuxdxuudxduxudxduxdxdy~)1(,~)1(~ln)1ln()1ln(ln)1111(122122222xxyxCxxyxyxcyx)8(11)()8(,8)1(8~3,122故时，当20例题讲解例：求解微分方程.0cos)cos(dyxyxdxxyyx解，令xyu，则udxxdudy,0)(cos)cos(xduudxuxdxuuxx,cosxdxudu,lnsinCxu微分方程的解为.lnsinCxxy21课堂练习::1求下列齐次方程的通解;03)()1(233dyxydxyx解,31)(312xyyxdxdy,uxy令,xuy,dxduxudxdy代入原方程，,31)1(312uudxduxu得,21332xdxduuu,两边积分.lnln)(21ln21lnln21ln2133CxxyCxu或得22课堂练习0)1(2)21()2(dyyxeeyxyx:1求下列齐次方程的通解解,uyx令,yux,dyduyudydx，代入原方程,0)1(2))(2e(1uedyduyuuu得,1221dyydueueuu即，两边积分Cyeuulnln2ln得.2Cyexyx或23课堂练习::2给初始条件的特解求下列齐次方程满足所;2,)1(1xyxyyxy解,uxy令,xuy,dxduxudxdy,代入原方程,1uudxduxu得,xdxudu即，两边积分.ln)(21ln2122CxxyCxu或得,21xy由,2C得.2ln)(212xxy所以特解是24*可化为齐次方程的微分方程25三、一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式)()(xQyxPdxdy,0)(xQ当上方程称为齐次的.,0)(xQ当上方程称为非齐次的.例如,2xydxdy,sin2ttxdtdx线性的;,32xyyy,1cosyy非线性的.26一阶线性微分方程的解法(1)线性齐次方程.0)(yxPdxdy(使用分离变量法),)(dxxPydy,)(dxxPydy,ln)(lnCdxxPy齐次方程的通解为.)(dxxPCey27解法(2)线性非齐次方程).()(xQyxPdxdy讨论,)()(dxxPyxQydy两边积分,)()(lndxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ为设,)()(lndxxPxvy.)()(dxxPxveey即非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比)(xuC28常数变易法常数变易法：把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法实质未知函数的变量代换),()(xyxu原未知函数新未知函数作变换dxxPexuy)()(,)]()[()()()(dxxPdxxPexPxuexuy代入原方程得和将yy),()()(xQexudxxP积分得,)()()(CdxexQxudxxP29常数变易法(续)一阶线性非齐次微分方程的通解为dxxPdxxPeCdxexQy)()(])([dxexQeCedxxPdxxPdxxP)()()()(对应齐次方程通解非齐次方程特解30例题讲解例：.sin1的通解求方程xxyxy解,1)(xxP,sin)(xxxQCdxexxeydxxdxx11sinCdxexxexxlnlnsinCxdxxsin1.cos1Cxx31例题讲解例：.)1(1225的通解求方程xxydxdy解.这是非齐次线性方程.通解先求对应的齐次方程的,012yxdxdy,12xdxydy.)1(2xCy即令换成把用常数变易法,,uC,)1(2xuy),1(2)1(2xuxudxdy得代入非齐次方程,.)1(21xu得两端积分,.)1(3223Cxu].)1(32[)1(232Cxxy故所求通解为32例题讲解(x为因变量)例：求方程2ydx-(x+y4)dy=0的通解，以及满足条件y(0)=1的特解。214334471212121212,2Cyyxyxydydxxyyxyyyxdydxyxydxdy：利用常数变易法，得到＝－方程为未知函数的一阶线性为自变量，上式是以但将方程改为。则此方程不是线性方程解：将方程改为33课堂练习.)2(2)2(13的通解求微分方程xydxdyx解,)2(222xxydxdyCdxexeydxxdxx21221)2(2Cdxxxx21)2(2)2(2])2)[(2(2Cxx).2(2(3xCx）34课堂练习.0,1322132的解满足初始条件求微分方程xyyxxdxdy解)(32323232Cdxeeydxxxdxxx)(ln31ln3122Cdxeexxxx)1(221313Cdxexexxx)21(22113Ceexxx,212133xeCxx,01xy再由.21eC得.212111332xexxy故所求特解是35*伯努力(Bernouli)方程