机械能守恒定律和动量守恒定律

1机械能守恒定律和动量守恒定律大家知道，物体在没有空气阻力和摩擦力的条件下运动时，动能和势能之和保持不变；动能只能转变为势能，势能只能转变为势能，在转变的过程中，物体总的机械能是守恒的，这就是机械能守恒定律。机械能守恒定律只是能的转变和守恒定律的一种特例。在一般情况下，运动物体在克服摩擦力和媒质阻力的做功过程中，机械能会减少，所减少的枫树等于所产生的其他形式的能（物体的内能）。实际上一切形式的以都可以互相转变，在转变过程中，各种形式的能的总和总是一个恒量。或者说：能量不能消灭也不能创生，它只能从一种形式转变为另一种形式，这就是大家所熟悉的能的转化和守恒定律。但是如何正确地应用它来解决有关问题，常常有的同学就感到困难。特别是解决有关碰撞问题时，常常有同学把机械能守恒定律和动量守恒定律等同起来，错误地认为在碰撞过程中，动能也是守恒的。例如，对于如下一个问题：“一个质量1200mg的小球，速度140/vms；当它跟一个质量为21mkg的大球碰撞后，以110/vms的速度反跳回来。求小球所做的功和大民得到的动能。”有的同学是这样考虑和计算的：在碰撞以前，小球的动能22111110.24022kEmvJ在碰撞以后，小球的动能：22211110.21022kEmvJ在碰撞中过程中小球减少的动能是：221210.240101502kkkEEEJJ所以大球得到的动能也是150J，这在数值上就等于小小球对大球所做的功。大球得到的动能是否等于小球所减少的动能150J呢？我们不妨根据动量守恒定律来算一算碰撞后大球获得的速度是多少：在碰撞前，小球的速度140/vms，大球的速度20v；在碰撞后，小球的速度110/vms，大球的速度设为2v。根据动量守恒定律：11221122mvmvmvmv2112211220.240100.21010(/)1mvmvmvvmsm大球得到的动能是22222111105022KEmvJJ跟上面根据“动能守恒”的方法求得的结果恰恰相差100J，这100J的动能到底到哪里去了呢？显然在碰撞过程中，由于两个球不可能是完全的弹性体，所以一定有一部分动能消耗在使它产生永久形变而转变为物体的内能。在本题条件下，小球对大球作功的过程（碰撞过程）中，小球所消耗的动能是150J，所以小球所做的功在数值上也等于150J们是不这150J的动能只有50J传递给大球，另外100J中转变为内能而球发热了。因此，当应用机械能守恒定律来解决问题时，应该注意：如果物体因碰到阻力而必须消耗一部分机械能来克服阻力作功时，那就不能应用机械能守恒定律。譬如，两个互相碰撞的物体，只能应用动量守恒定律不解决碰撞前后的速度问题，因为碰撞前后的动量是守恒的；但在碰撞前后的机械能是不一定守恒（一般来说，都不守恒），因为在碰撞过程中必然有一部分机械能转变为内能而使物体发热（除了理想的弹性碰撞外，一般都会出现发热现象）。下面我们再通过一个测定子弹的速度的冲击摆的例子来说明如何正确应用动量守恒定律和机械能守恒定律来分析问题和解决问题：如图二所示，用两条绳子悬挂一只质量为M的沙箱，一颗质量为m的子弹向往身射入沙箱后，不再出来，结果它们以共同的速度运动而使沙箱的位置升高了h。求子弹的速度。对于这一问题，常常有的同学这样分析和计算：Mh图一3设子弹的的速度为V，则子弹具有的动能212kEmv；子弹进入沙箱后，子弹和沙箱一起升高了h，这时它们所增加的重力势能PEmMgh，根据机械能守恒定律：2122mvmMghmMghvm显然，这里以没有考虑到子弹身入沙箱的过程中必须克服沙箱对它的阻力而作功，因而必须消耗掉一部分动能所以机械能是不守恒的。正确的解法是：先求出子弹身射入沙箱后两者的共同速度v。在沙箱偏转过程中，机械能可以认为是守恒的（空气阻力较小，忽略不计），因而有：212mMvmMgh2vgh这时两者具有的总动量是2mMgh根据动量守恒定律，子弹在跟沙箱碰撞以前的动量mv应等于碰撞后子弹和沙箱的部总动量，即：2mvmMgh所以，子弹的速度2mMvghm解这题时，既要用到机械能守恒定律，又要用到动量守恒定律。为什么在前面的情况下可用机械能守恒定律，而在后面的情况下却不能用这个定律呢？这是从实际情况出发来考虑的。因为空气阻力小，可以忽略不计，而沙箱的阻力大，不应该忽略了。此外，用机械能守恒定律和动量守恒定律来解决运动学和动力学的一些问题，常常比直接用运动学和牛顿运动定律要简要得多，而且在有些情况下，用运动学公式不能解决的，却能用机械能守恒定律来顺利地加以解决。请同学们考虑下面的一些问题：例一：一单摆的摆长为L，偏角为θ（图二）在平衡位置时摆锤的速度是多少？4解：显然，因为摆的运动是变加速运动，所以无法应用高中运动学里所学的公式来解。但根据机械能守恒定律，那是非常容易计算的：由图二所示可看出摆在平衡位置时，位置高度降低了h，而：1coshL因为摆在平衡位置时的动能212mv在数值上等于它所减小的重力势能，即212mvmgh所以，摆在平衡位置时的速度221cosvghgL。例二：在10m高处，用初速度05/vms抛出一物体，物体落地时的速度是多少？（g=10m/s2）在这里，抛出物体初速度的方向没有给出，因而无法判定这个物体做什么运动，也就无法用运动学公式来解。但不管它做什么运动，从能量观点看，结果都一样。因此我们可以这样分析的计算：因为：刚抛出时，物体具有的机械能为2201110522mghmvmgm根据机械能守恒定律：221110522mvmgm所以，物体落地时的速度2101025/15/vmsms本题中抛出物体由于初速度方向的不同。那末根据机械能守恒定律求得的结果是否符合于物体做上述任何一种运动到达地面时的速度呢？让我们来验证一下。（1）如果抛出物体的初速度的方向是竖直向下的，物体做直下抛运动，那末根据运动学公式：2202vvgh，可求出物体落地的速度2202210105/15/vghvmsms（2）如果抛出物体的初速度的方向是竖直向上的，物体做竖直上抛运动，那末我们Lθh图二5可以这样考虑：当物体上升到最高点，然后降回原版时的速度，大小跟刚上抛时初速度0v一样，但方向相反。从这一时刻起再降落到地面的运动情况跟以初速度0v竖直下抛的情况完全相同，所以物体落地时的速度仍是15m/s。（3）如果抛出的物体的初速度的方向是水平的，物体做平抛运动，物体落地时的两个初速度是：竖直向下的分速度：221010/yvghms；水平方向的分速度：05/xvvms由图三可以算出落地时物体的速度（两个分速度的合速度）：222210105/15/xyvvvmsms（4）如果抛出物体的初速度方向是以任意的投射角α斜抛出去的，物体做斜抛运动。由图四不难看出：抛出时的水平速分度00cosxvv，竖直分速度00sinyvv，落地时水平分速度00cosxxvvv，竖直向下方向的分速度yv在数值上应等于在10m高以初速度V1作竖直下V0YV0XV0αV0XVYVH10m图四10mV0=5m/sVX=5m/sVYV图三6抛运动中物体落地时的速度，即212yvghv，因此求得落地时的合速度：222212222002222002cos2cos2sin2sincos221010515/xyvvvvghvvghvghvghvms以上计算表明，不管物体做竖直下抛、竖直上抛、平抛或者斜抛运动，物体落地时的速度都是15m/s。可见根据机械能守恒定律得出的结果是正确的。同时也表明了在斜抛运动的情况里，应用机械能守恒定律来计算落地的速度大小比应用运动学公式要简要得多。