教案：从力做的功到向量的数量积

1从力做的功到向量的数量积（教案）弋阳一中数学组叶宏一.教学内容分析本课内容选自普通高中课程标准实验教科书数学必修4（北师大版）§2.5从力做的功平面向量的数量积的第一课时,本课主要内容是向量的数量积的定义及运算律,本节课让学生了解从特殊到一般再由一般到特殊的这种认识规律和体会概念法则的学习过程.本节的知识结构：二、学生学习情况分析本节以力对物体做功作为背景，研究平面向量的数量积。学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法。在功的计算公式和研究向量运算的一般方法的基础上,学生基本上能类比得到数量积的含义和运算律,对于运算律不一定给全或给对,对运算律的证明可能会存在一定的困难,教学中老师要注意引导学生分析判断.由向量的线性运算迁移、引申到向量的乘法运算这是个很自然的过渡，深入浅出、符合学生的认知规律，也有利于明确本节课的教学任务，激发学生的学习兴趣和求知欲望。三.设计思想遵循新课标以人为本的理念，以启发式教学思想和建构主义理论为指导，采用探究式教学，以多媒体手段为平台，利用问题让学生自主地参与探究，在探究过程中注重学生学习过程的体验和数学能力的发展，引导学生积极将知识融入自己的知识体系。四、教学目标21、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；3、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。五、教材重点和难点重点是平面向量的数量积的概念和性质；用平面向量数量积表示向量的模及向量的夹角；平面向量数量积的运算律的探究及应用。难点是平面向量的数量积的定义及对运算律的探究、理解；平面向量数量积的灵活应用。六.教学过程设计[情景1]1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？答：向量的加法、减法及数乘运算。这些运算的结果是向量。2、前面我们用给出物理模型、引入概念、推出性质及运算律的方式研究了，向量的加法，向量的数乘。今天我们要用同样的方式研究向量的另一种非常重要的运算。3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算。导入课题：平面向量数量积的物理背景及其含义［设计意图］：1.明白新旧知识的联系性。2.明确研究向量的数量积这种运算的途径。[情景2]在物理学中，我们知道，一个物体受到了力的作用，如果在力的方向上发生一段位移，我们就说这个力对物体做了功。（1）如果力的方向和物体的运动方向相同，功等于什么？答：等于力的大小和位移大小的乘积（2）如果当力F的方向与物体运动的方向成θ角时，功等于什么？答：W=|F||S|cosθ（3）如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述？答：两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。32、明晰数量积的定义(1)向量的定义：已知两个非零向量a与b，把数量cosab叫做a与b的数量积（或内积），记作：ab，即abcosab（其中是a与b的夹角）。（2）定义说明：①记法“ab”中间的“·”不可以省略，也不可以用“”代替。②“规定”：零向量与任何向量的数量积为零。（1）0abab（a与b都是非零向量）；设置情景：若0ab，则向量a与b至少有一个是零向量？类比,abR时，若0ab0a或0b。而且此性质在解决有关线段垂直问题时具有很好的作用。（2）当向量a与b共线同向时，abab；当向量a与b共线反向时，abab。特别地22aaaa或2aaaa（与二次根式性质：2aa进行类比）。这是求向量长度的又一重要方法。［设计意图］：1.认识向量的数量积的实际背景。2.使学生在形式上认识数量积的定义。3.从数学和物理两个角度创设问题情景，使学生明白为什么研究这种运算,从而产生强烈的求知欲望3、提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数量，这个数量的大小不仅和向量a与b的模有关，还和它们的夹角有关。4、学生讨论，并完成下表：θ的范围0°≤θ90°θ=90°90°θ≤180°ab的符号［设计意图］：引导学生通过自主研究，明确两个向量的夹角决定它们的数量积的符号，进一步从细节上理解向量数量积的定义。5、研究数量积的几何意义（1）给出向量投影的概念：如图，我们把│b│cosθ（│a│cosθ）叫做向量b在a方向上（a在b方向上）的投影，4记做：OB1=│b│cosθ（2）提出问题5：数量积的几何意义是什么？答：数量积a·b等于a的长度︱a︱与b在a的方向上的投影︱b︱cosθ的乘积。［设计意图］：这里将数量积的几何意义提前，使学生从代数和几何两个方面对数量积的特征有了更加充分的认识6、研究数量积的物理意义（1）请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积。（2）尝试练习：一物体质量是10千克，分别做以下运动：①、竖直下降10米；②、竖直向上提升10米；③、在水平面上位移为10米；④、沿倾角为30度的斜面向上运动10米；分别求重力做功的大小。［设计意图］：通过尝试练习，一方面使学生尝试计算数量积，巩固对定义的理解；另一方面使学生理解数量积的物理意义，明白学科间的联系，同时也为数量积的性质埋下伏笔。活动三：探究数量积的运算性质1、提出问题6：（1）将尝试练习中的①②③的结论推广到一般向量，你能得到哪些结论？（2）比较︱a·b︱与︱a︱︱b︱的大小，你有什么结论？2、请证明上述结论。3、明晰：数量积的性质［设计意图］：［设计意图］：将尝试练习的结论推广得到数量积的运算性质，使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。活动四：探究数量积的运算律1、提出问题7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？设a和b都是非零向量，则1、a⊥ba·b=02、当a与b同向时，︱a·b︱=︱a︱︱b︱；当a与b反向时，︱a·b︱=-︱a︱︱b︱，特别地，a·a=︱a︱2或︱a︱=aa3、︱a·b︱≤︱a︱︱b︱5答:①交换律：ab=ba②结合律：(ab)c=a(bc)③分配律：(a+b)c=ac+bc猜想：a·b=b·a②（a·b）c=a(b·c)③（a+b）·c=a·c+b·c2、分析猜想：猜想①的正确性是显而易见的。关于猜想②的正确性，请同学们先讨论：猜测②的左右两边的结果各是什么？它们一定相等吗？答：左边是与向量c共线的向量，而右边则是与向量a共线的向量，显然在向量c与向量a不共线的情况下猜测②是不正确的。［设计意图］：要求学生通过对过去所学过的运算律的回顾类比得出数量积的运算律。通过讨论纠错来理解不同运算的运算律不尽相同，看到数学的法则与法则间的相互联系与区别，体会法则，学习研究的重要性。3、明晰：数量积的运算律：4、学生活动：证明运算律2在证明时，学生可能只考虑到λ0的情况,为了帮助学生完善证明，提出以下问题：当λ0时，向量a与λa，b与λb的方向的关系如何？此时，向量λa与b及a与λb的夹角与向量a与b的夹角相等吗？5、师生活动：证明运算律（3）［设计意图］：学会利用定义证明运算律（1）(2)，运算律(3)的图形构造有些困难，先让学生讨论，后根据学生的情况加以指导或共同完成。活动五：应用与提高1、学生独立完成：例1：判断下列各题正确与否22()()ababab0,,0abab(1)若则对任一非零向量有0.,.aabacbc(2)若则［设计意图］：通过计算巩固对定义的理解。例2：如图在等腰垂直ABC中，角ABC=120度，腰长为4.求：,,ABCBBACACBCA2、师生共同完成：已知︱a︱=6，︱b︱=4,a与b的夹角为60°，求，并已知向量a、b、c和实数λ，则：（1）a·b=b·a（2）（λa）·b=λ（a·b)=a·（λb）（3）（a+b）·c=a·c+b·c6(2)(3)abab思考此运算过程类似于哪种实数运算？3、学生独立完成：对任意向量a，b是否有以下结论：（1）222()2abaabb（2）22()()ababab［设计意图］：让学生体会解题中运算律的作用，比较向量运算与数运算的异同。4、师生共同完成：已知︱a︱=3，︱b︱=4,且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直？并讨论：通过本题，你有什么体会？［设计意图］：学会利用数量积来解决垂直问题，体会用数量积将几何问题转化为方程求解，体现向量的工具性。5、反馈练习（1）已知△ABC中，AB=a,AC=b，当a·b0或a·b＝0时，试判断△ABC的形状。［设计意图］：1.加强学生的练习。2.通过观察、问答等方式对学生的掌握情况有了进一步的了解和把握。活动六：小结1、本节课我们学习的主要内容是什么？2、平面向量的数量积有哪些应用？3、我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳和性质的探究?［设计意图］：通过学生讨论总结，加强了学生概念法则的理解和掌握，体会整个内容的研究过程，明白了为什么要学这些内容，学了这些内容可以做什么，这对以后的学习有什么指导意义。活动七：布置作业1、课本P95习题2.5A组2、3。2、拓展与提高：已知a与b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，求a与b的夹角。（本题供学有余力的同学选做）［设计意图］：通过设计不同层次的作业既使学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高，从而达到激发兴趣和“减负”的目的。