数理金融第四章(套利定价理论)

第4章套利定价理论开课单位:数学与数量经济学院主讲:佟孟华等数理金融套利定价模型概述研究资产价值基本方法研究资产价值基本方法基于一般均衡分析的资本资产定价模型基于一般均衡分析的资本资产定价模型基于套利理论的定价模型基于套利理论的定价模型市场出清的资产定价市场出清的资产定价市场不出清的资产定价市场不出清的资产定价市场投资组合市场投资组合除市场因素外,资产价格受一些外部因素影响除市场因素外,资产价格受一些外部因素影响理论上完美,基本假设多,计算量大理论上完美,基本假设多,计算量大假设少,接近资本市场实际情况假设少,接近资本市场实际情况4.1多因子线性模型„APT模型有如下的假定:„(1)市场是无摩擦的，完全竞争市场；„(2)市场上存在充分多的资产，而且每种资产都是无限可分的；„(3)所有投资者对各种资产的收益预期都是一致的；„(4)假定存在有限个因素共同影响资产的收益率。4.1.1多因子线性模型设资产市场有n种风险资产，其收益率分别为12,,....,nRRR，无风险资产的收益率为fR，风险资产的收益率是随机变量，无风险收益率为常数。设影响风险资产收益率的因素为K个，设为12,,,kFFF，它们是随机变量，称它们为因子。风险资产的收益率可以写成如下形式：1122iiiiikkiRabFbFbFε=+++++(1,2,,)in=（４.１.１a)其中ikb表示风险资产i对因子k的敏感系数，iε表示未知的或者不可预测的次要因素，也是一随机变量，称为残差。iε残差满足如下条件()()(1)0,0ikEEFε==()(2)0ijEεε=()(3)0jkEFε=()(4)0klEFF=222(5)()()iiiVarESSεε==≤()()2(6)1kkVarFEF==1,2,....,;1,2,...,inkK==(4.1.1)b,1,2,....,ijn=1,2,....,;1,2,...,inkK==,1,2,...,;ilKkl=≠1,2,,in=1,2,....,kK=(4.1.1c)(4.1.1d)(4.1.1e)(4.1.1f)(4.1.1g)4.1.2多因子线性模型的向量形式12(,,)TnRRR=令，R12(,,,)Tnaaa=a()iknkBbnk×=×是矩阵，12,(,,)Tnεεε=，ε()12,,...TkFFFF=，则模型(4.1.1a)可以写成向量形式:BF=++Raε(4.1.2a)且满足:()()()()()12000TnnEEEEεεε===ε ,,....,(,,,)0(4.1.2b)4.1.2多因子线性模型的向量形式()()()()()12TnEEfEfEf==F,,....,0()()()1TknknkEEFε××==εF,,0()()()TklkkkkEEI××==,,FFFF(4.1.2c)(4.1.2d)(4.1.2e)nk×0其中为零矩阵，kkIk×为阶单位矩阵，TijnnEEεε×=()(())为对角线元素并且是εε22212nSSS,,的对角矩阵。12Tnεεε=(,,,)其中是残差向量。ε4.1.3投资组合的因子模型12Tn=(,,,)设是一个投资组合，wR以表示投资组合的收益率，1122wnnRwRwRwR=+++1122wnnRwRwRwR=+++1122wnnRwRwRwR=+++(4.1.3)将模型（4.1.a）代入得11221111nnnnwiiiiiinkiiiiiiRwbFwbFwbFwε=====++++∑∑∑∑()()()(4.1.4)1nPiiiwεε==∑(4.1.5)4.1.3投资组合的因子模型2221nPiiiwσεσε==∑()()(4.1.6)特别地,如果1iwn=，12in=,,,则22211nPiisnnσεσε==≤∑()()n当很大时，2Pσε()会很小，于是2222221211111nnnKnwiiiiiikPiikiiikiRwbwbwbwbσσε======++++≈∑∑∑∑∑()()()()()()(4.1.7)4.2不含残差的线性因子模型的套利定价理论4.2.1不含残差的单因子模型1iiiRabF=+1,2,....,in=(4.2.1)其中ijbbij≠≠()，0ib≠12ijn=,,,,例子设市场上有三种股票，三种股票期望收益率为123()15%,()21%,()12%ERERER===1230.9,3.0,1.8bbb===4.2不含残差的线性因子模型的套利定价理论4.2.1不含残差的单因子模型假设存在资产组合()123,,T=1230930180=...1230150210120(4.2.2a)(4.2.2b)(4.2.2c)4.2不含残差的线性因子模型的套利定价理论4.2.1不含残差的单因子模型如果不存在套利机会,对于任意资产组合()123,,必须满足无套利条件,即如1230=1122330bwbwbw++=(4.2.3a)(4.2.3b)则必有1122330ERwERwERw++=()()()(4.2.3c)4.2不含残差的线性因子模型的套利定价理论4.2.1不含残差的单因子模型假设向量111T=1(,,)和向量123Tbbb=(,,)b线性无关,由上面两个向量生成的子空间记为spanV=(1,)，bspan(1,)与正交的所有向量b构成的子空间V⊥即与V中向量正交的向量构成的集合，由无套利条件得出123TERERER((),(),())满足与V⊥中所有向量都正交，{}123TERERERspan∈((),(),())1,故b01λλ于是存在，使得123011TERERERbλλ=+((),(),())4.2不含残差的线性因子模型的套利定价理论4.2.1不含残差的单因子模型写成分量形式，有1011ERbλλ=+()2012ERbλλ=+()3013ERbλλ=+()由上面假设可以算出018%4%λλ==，，(,())iibER即在平面上，11(,()bER，22(,())bER，33(,())bER在同一条直线上，如果不在同一条直线上，就存在套利机会。4.2不含残差的线性因子模型的套利定价理论4.2.1不含残差的单因子模型图4.13种股票的收益期望连线1bi1.520.500.020.040.080.16E(Ri)4.2不含残差的线性因子模型的套利定价理论4.2.1不含残差的单因子模型在无套利的情况下()()10.080.040.911.6%ER=+×=()()20.080.043.020%ER=+×=()()30.080.041.815.2%ER=+×=按原来的数据11(,())(0.9,15%)bER=，在直线上方,22(,())(3.0,21%)bER=33(,())(1.8,12%)bER=在直线的下方，存在套利机会。4.2不含残差的线性因子模型的套利定价理论4.2.1不含残差的单因子模型相应的交易策略使()1ER由15%下降到11.6%，()2ER当由21％下降到20%，当()3ER由12%上升到15.2%，则无套利机会。因此()nER是nb的线性函数，称此直线为套利定价线。如果市场存在无风险资产，则0fRλ=。4.2不含残差的线性因子模型的套利定价理论4.2.2K因子模型多因子无残差线性模型1122....iiiiikkRabFbFbF=++++1,2...,;1,2,,inkK==（）假定(1,1,,1)Tn=1 个，12(,,)Tkkknkbbb=b，1,2,,kK=是线性无关向量组。如果资产组合12(,,,)Tn=满足如下条件0Tw=10Tkw=bk=1,2,,K（）（4.2.4a)(4.2.4b)4.2不含残差的线性因子模型的套利定价理论4.2.2K因子模型则由无套利假设，应有()0TE=Rw(4.2.4c)其中12()((),(),,())TnEERERER=。R由于我们假设{}1,,,k1bb线性无关，故{}12,,,,Kspan1bbb是1K+维空间，与其正交的空间是(1)nK−+维空间。因此,由式(4.2.4a)和式(4.2.4b),{}12(),,,,kEspan=R1bbb4.2不含残差的线性因子模型的套利定价理论4.2.2K因子模型写成分量形式有01122()1iiikikERbbbλλλλ=++++1,2,,in=（）如果市场存在无风险资产，则0fRλ=。4.2不含残差的线性因子模型的套利定价理论1KiiikkkRabF==+∑1,2,,in=（）4.2.2K因子模型定理4.1设资产的收益率为其中12(,,,,)k1bbb是一线性无关组，市场无套利机会，则存在kF的风险溢价因子(1,2,,)kkKλ=及0λ使01122()1iiikikERbbbλλλλ=++++1,2,,in=（）(4.2.5)当市场存在无风险资产时，0.fRλ=4.2不含残差的线性因子模型的套利定价理论4.2.3的经济意义构造一个特殊的投资组合()12,,...,Tn=w满足下面条件11=∑=ikniibw01=∑=ikniibwjk≠(4.2.6)(4.2.7)式（4.2.5）的加权求和，由式（4.2.6）和式（4.2.7），我们得到()0wkERλλ=+()0kwERλλ=−(4.2.8)(4.2.9)4.2不含残差的线性因子模型的套利定价理论4.2.3的经济意义当市场存在风险资产时0,fRλ=此时，()kwfERRλ=−即kλ是满足条件式（4.2.6）和式(4.2.7)的资产组合的超额收益率。总之,即kλ是对kF的敏感系数为1，对其他因素的敏感系数为0的投资组合的超额收益或风险溢价。4.3含残差风险因子的套利定价理论4.3.1渐进套利机会假设市场上有可数无穷资产记为12,,,nXXX其收益率记为12,,,nRRR如果存在资产组合序列()()()()1,...,,Tnnwnwn=w1,2,n=满足()10niiwn==∑(1)()wn是无套利组合(4.3.1a)(2)当n无限增大时，风险趋向于0，即()1lim0niiniVarwnR→∞=⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∑(4.3.1b)4.3含残差风险因子的套利定价理论4.3.1渐进套利机会n(3)套利组合的期望收益为无限增大时，大于1个正常数0))((lim1∑=∞→iniinRnwE(4.3.1c)则称存在渐近套利机会。4.3含残差风险因子的套利定价理论4.3.2含残差的套利定价模型定理4.2如果风险资产收益率iR由有界K因子模型给出，市场不存在渐近套利机会，则存在依赖于n的实数01,,,kλλλ，使得01()KiikkikERbvλλ==++∑(4.3.2a)而且期望收益率的残差项iv满足22111()0ninniLimvLimvnnn→∞→∞===∑(4.3.2b)4.3含残差风险因子的套利定价理论4.3.2含残差的套利定价模型证明:设1KiiikkikRabFε==++∑，1,2,i=令()ER表示期望收益率向量,即()()()()()12,,....,TnERERERER=，将()ER在由1和12,,,Kbbb张成的子空间作正交射影，这里12(,,)kkknkbbbb=，1,2,,kK=，得4.3含残差风险因子的套利定价理论4.3.2含残差的套利定价模型01()KiikkikERbvλλ==++∑，(1,2,)in=(4.3.3)令12()(,,)Tnnvvv=，vkb由于()nv与1和正交，所以1niiv=∑，10niikivb==∑，1,2,,kK=，现构造这一资产组合()()()()1,...,Tnnwnwn=w其中()1/221()iiiniivvwnnvnnv===⎛⎞⎜⎟⎝⎠∑4.3含残差风险因子的套利定价理论4.3.2含残差的套利定价模型易见()nv与1正交，故n()w是一套利组合。资产组合的收益率为()()()11niiwniRnnvR−==∑v把iR的表达式代入得()()1()11nKwniiikkiikRnnvabε