浅谈在初中数学教学中的分类讨论思想

1浅谈在初中数学教学中的分类讨论思想摘要：目前，我国初中数学教学中运用数学思想方法存在问题，从而导致数学思想方法的培养存在缺陷。然而分类讨论思想是中学数学中的一种极其重要的数学思想方法，有必要对初中数学分类讨论思想在解题中的运用等进行尝试和讨论。关键词：初中数学分类讨论思想一、问题的提出目前，我国初中数学教学中运用数学思想方法存在着一些问题（一）、我国教师的教育观念没有彻底改变，数学思想方法作为数学教育的重要内容，以日益引起人们的注意，这与教育越来越重视培养学生的能力和提高学生的素质有着密切的关系，但是，现在的数学课堂教学模式几乎延袭传统的教学理念，在表面上谈素质教育，其实内部暗中追求升学率的今天，数学思想方法教学的重要性没有引起老师们的足够重视。例如，求解一道题，许多教师并没有反思是否一题多解，更没有考虑到解题的意图，只是一解了之，并没有反思解决数学问题的思维方式或者思想方法。（二）、学生的学习方式和学习习惯也存在问题受教师传统观念的影响，学生的学业方面也存在许多问题，学生只是在拼命的完成教师布置的作业，没有深入的去了解所学知识。因此，学生感到数学越学越枯燥，越学越不想学，哪还能考虑数学的思想方法，更谈不上知识的创新了。（三）、分类讨论思想是中学数学中的一种极其重要的数学思想方法2011年新课程标准中指出:“数学教学中发展思维能力是培养能力的核心”，有必要对初中数学分类讨论思想在解题中的运用等进行尝试和讨论，这也符合新课程理念的基本要求，更是有利于深入实施新课程教学改革。二、分类讨论思想在初中数学教学中的意义分类讨论思想是一种拙象的思想，是一类解決数学问题的思维方式。它主要是将整体的数学概念转換为零散的小部分，全方位的解決各种数学问题，之后，又将零散的部分有条理地整合起来，得出有效可靠的总结。分类讨论思想符合学2生初中阶段思维发展的特点，有效地帮助学生整理解决数学问题的思路，提高学生思考问题的思维能力、创新能力以及动手实践能力。三、分类讨论一般应遵循以下原则：（一）、对问题中的某些条件进行分类要遵循同一标准。（二）、分类要完整，不重复，不遗漏。（三）、有时分类并不是一次完成，还需进行逐级分类，对于不同级的分类，其分类标准不一定统一。四、分类讨论思想在数学教学中存在的情形（一）在概念教学中渗透，分类讨论意识初中数学课本中很多概念本身是分类定义，分类概括的，或者有些定义本身就是有限定条件的。如绝对值的定义、一元二次方程的定义等。教师在教学过程中要有意识地让学生在学习中逐渐地体会分类讨论的思想。（二）在法则定理公式导出过程中，体现分类讨论思想有些数学性质、公式或定理在不同条件下有不同的结论，或是结论在一定限制条件下才成立，这就要在教学的过程中逐步体现分类讨论思想。例如：1、不等式的运算性质，要按不等式的两边同乘以或同除以同一个正、负数不同而决定不等号方向是否改变等来进行分类讨论。对于正比例函数图像的递减(増)性要取决于k小于0还是大于0。（三）在单元小结专题讲座中提炼与概括分类思想在单元小结时注重从纵横两方面去整理单元知识所蕴含的思想方法，把单元内容的总结提升到思想方法的认识上。（四）在解题规律过程中，突出与强化分类讨论思想1、分类讨论思想方法在初中数学常见题型中的运用初中数学常见的题型有:绝对值中的分类讨论，应用题中的方案类型，解方程（根据方程字母的不同取值进行分类讨论），概率统计中的分类讨论，几何作图中的分类讨论，几何图形运动中的分类讨论，圆中的分类讨论等等。这些题型都是这几年中考经常考察的问题，集中体现了未来考试的命题方向。如何在这些常见的题型中实施分类讨论，下面就几个具体例题，说明分类讨论思想在初中数学解题中的运用：3例1：已知a是有理数，那么|a|与a的关系是（）（A）|a|＞a(B)|a|＜a(C)|a|＝a(D)|a|≥a分析：绝对值概念是一种需要进行简单的分类讨论的概念1)当a为正有理数或零时，|a|＝a；2)当a为负有理数，即a＜0时，|a|＝-a＞0，3)当a为零时，|a|＝a，正确答案：D但我们会发现，总有一部分学生会选C，究其原因，是没弄清绝对值这一概念，认为求一个数的绝对值，如：|5|＝5；|-7.5|＝7.5；……，只要去掉绝对值里面的负号就行了。实际上，要讲清绝对值这一概念应从绝对值的几何意义说起，也就是一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离，这样学生自然而然的会得出绝对值的三种分类讨论情况。例2、一些女生住若干家间宿舍，每间住4人，剩下19人无房住每间住6人，有一间宿舍住不满。如果有x间宿舍，那么可以列出关于x的不等式组可能有多少间宿舍、多少名学生?你得到几个解?它符合题意吗?解:设有x间宿舍，0≤4X+19-6(X-1)＜69.5＜x≤S12.9・:x可取10、11或12，所以学生数为59或63或67人答:有10间宿舍59名学生或11间宿舍，63名学生或12间宿舍，67名学生例3、求函数y＝(k-1)x2+kx+1与x轴的交点坐标本题的条件是不唯一的，该函数是什么函数？问题中没有说明。有两种可能的情况：一次函数或二次函数。所以分为以下两情况进行分类讨论(1)当此函数为一次函数时，k＝1，求得与x轴交点为(-1，0)4(2)当此函数为二次函数时，k≠1，△＝22k①△＞0，即k≠2时，有两个交点(-1，0)、（k11，0）②△＝0，即k＝2时，有一个交点(-1，0);③△＜0，即22k＜0，不存在k的取值。综合以上分类解题过程，得出本题的正确答案为:K=1时，与x轴交点为(1，0)；k≠1且k≠2时，与x轴交点为(-1、0)、（k11，0）k＝2时，与x轴交点为(-1，0)。例4：如图，在直角坐标系中，已知点P(2，-1)，点T(t，0)是x轴上的一个动点，如下图所示，(1)求点P关于原点的对称点P’的坐标；(2)当t取何值时，∠POT是等腰三角形?一变：其它条件均不变，若点T(0，t)是y轴上的一个动点，当t取何值时，∠POT是等腰三角形?5二变：其它条件均不变，若点T是坐标轴上的一个动点，要使三角形POT为等腰三角形，这样的点T有多少个?并求出它们的坐标。解：①因为P点的坐标是(2，1)所以OP=2212=5以O为圆心，OP长为半径画孤(OP做腰)交x轴分别是(5，0)，(-5，0)②设T的坐标是(x，0)，OP做等腰三角形的底边，那么有2222012000xx即x2=4-4x+x2+1解得x=45故T的坐标为（45，0）③AP是等三角形底边的垂直平分线，那么O点的对称点坐标是(4，0)综上所述T的值有4个，即(5，0)，(-5，0)，（45，0），(4，0)此题涉及了两个层次的分类讨论，点的位置分类与等腰三角形边的分类，教师需引导学生细细体会。总之，分类讨论的思想方法是在数学知识的发生和应用的过程中形成和发展的，它的灵活掌握是需要有个潜移默化的过程，是要在多次理解和反复应用的基6础上逐步形成的，它是数学教学中的长期任务。因此，教师要在在日常教学中要根植于课本，着眼于提高，要善于挖掘各种教学资源中所蕴含的分类讨论的思想方法，不失时机地逐步引导学生建立分类讨论的思想，揭示分类讨论思想的本质，进行渗透、概括、提炼与强化，使学生能够自觉合理的运用分类讨论的思想解决相应数学冋题，掌握分类讨论数学思想方法这个锐利武器，从而提高学生的综合运用的能力和良好的思维品质。参考文献：[1]深挖教材、提炼方法、培养思维——浅谈初中数学中的分类讨论思想，陈罗九-《中国数学教育》-2011-[2]分类讨论思想在初中数学教学中的渗透，贺粤湘-《数学学习与研究》-2013-[3]“分类讨论”“在初中数学教学中的应用，刘继和-中华教育理论与实践科研论文成果选编-2010-[4]如何在初中数学教学中渗透分类讨论思想邓凤文-《中学教学参考》-2013-[5]初中数学教学中渗透分类讨论思想初探孙海燕-3月现代教育教学探索学术交流会-2010-[6]浅谈数学教学中如何渗透数学思想方法，张书洋-《新课程（中学）》-2010-