曲线积分曲面积分在物理上运用

1/8曲线积分与曲面积分在物理上的运用高等数学是物理学研究和发展不可缺少的理论思维工具，它具有高度的抽象性，结论的精确性和广泛的应用性。数学知识对于物理学科来说，决不仅仅是一种数量分析和运算工具，更重要的是物理概念的定义工具和物理定理、原理的推导工具；另外，运用数学方法研究物理问题本身就是一种重要的抽象思维。因此，数学也是研究物理问题进行科学抽象和思维推理的工具。在物理学的发展道路中，数学起到的作用是具体的。一个理论有没有生命力的基本条件就是数学表述是否正确完善，是否和物理定律界定的条件配合得很好，或者和客观实验符合得很好。当这种符合度到达一定程度之后，物理理论就会反过来赋予数学描述以生命力。数学对于物理的影响是很深远的，但是也不能说明数学和物理的关系有很分明的先后关系。有的数学问题是从物理现象中抽象出来的，而有的数学表述方式也是因为有了物理理论才有了意义。如教材中曲线与曲面积分的定义均由物理学中的相关问题提出，而物理学中的某些问题运用曲线积分与曲面积分得到了简化。一、弧长的曲线积分的概念与性质由物理上求曲线形构件的质量问题提出曲线形构件的质量在设计曲线形构件时，为了合理利用材料，应该根据构件各部分受力情况，把构件上各点处的粗细程度设计的不完全一样。因此，可以认为这构件的线密度（单位长度的质量）是变量。假设这构件所处的位置在xOy面内的一段曲线弧L上，它的端点是A、B，在L上任一点（x，y）处，它的线密度为μ（x，y）。现在要计算这构件的质量M（如图）。现在这构件上各点处的线密度是变量，可以用L上的点M1,M2⋯⋯,Mn−1把L分成n小段，取其中一小弧来分析。在线密度连续变化的前提下，只要这小段很短，就可以直接用这一小段上任意一点（ζi，ηi）处的线密度代替这小段上其他各点处的线密度，从而得到这小构件的质量的近似值为μ（ξi，ηi）△Si，其中△Si表示弧Mi−1Mi的长度，于是整个曲线形构件的质量iiinisM),(12/8用λ表示n个小弧段的最大长度，为了计算m的精确值，取上式右端之和当λ→0时的极限，从而得到M≈limλ→0∑μ（ξi，ηi）△Sini=1从而得到曲线积分的定义：设L为xoy面内的一条光滑曲线弧，函数f(x,y)在L上有界。在L上任意插入点列M1,M2⋯⋯,Mn−1把L分成n小段。设第i个小段弧长的长度为△Si，又（ξi，ηi）为第i个小段上任意取定的一点，作乘积f（ξi，ηi）△Si（i=1，2n），并求和∑μ（ξi，ηi）△Sini=1，如果当各小弧段的长度最大值λ→0时，这和的极限总存在，则称此极限为函数f(x,y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作dsyxfL),(，即iiiniLsfdsyxf),(lim),(10定义：设L为一条从点A到点B的有向光滑曲线弧,P、Q、R是定义于L上的有界函数，向量函数．在L上L沿的方向任意依次取一点列,把分成n个小弧段.相应地得到个小矢量在上任取一点，作和式记，若当时，上述和式的极限总存在,则称此极限为矢量函数在有向曲线上对坐标的曲线积分，记作3/8或例二求变力沿曲线所作的功：设一个质点在xOy面内在变力F(xy)P(xy)iQ(xy)j的作用下从点A沿光滑曲线弧L移动到点B试求变力F(xy)所作的功用曲线L上的点AA0A1A2An1AnB把L分成n个小弧段设Ak(xkyk)有向线段1kkAA的长度为sk它与x轴的夹角为k则kkkkksAA}sin,{cos1(k012，n1)显然变力F(xy)沿有向小弧段1kkAA所作的功可以近似为kkkkkkkkkkksyxQyxPAAyx]sin),(cos),([),(1F于是变力F(xy)所作的功111),(kkkknkAAyxWF11]sin),(cos),([nkkkkkkkksyxQyxP从而LdsyxQyxPW]sin),(cos),([这里(xy){cossin}是曲线L在点(xy)处的与曲线方向一致的单位切向量4/8把L分成n个小弧段L1L2Ln变力在Li上所作的功近似为F(ii)siP(ii)xiQ(ii)yi变力在L上所作的功近似为]),(),([1iiiniiiiyQxP变力在L上所作的功的精确值]),(),([lim10iiiniiiiyQxPW其中是各小弧段长度的最大值提示用si{xiyi}表示从Li的起点到其终点的的向量用si表示si的模二、格林公式及其应用定理1设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数),(yxP及),(yxQ在D上具有一阶连续偏导数，则有LDQdyPdxdxdyyPxQ(3.1)其中L是D的取正向的边界曲线.若在格林公式(3.1)中，令,,xQyP得LDydxxdydxdy2，上式左端是闭区域D的面积A的两倍，因此有.21LydxxdyA考虑一平面流场：5/8曲面积分：一、对面积的曲面积分的概念与性质：设曲面是光滑的,函数),,(zyxf在上有界,把任意分成n小块iS(iS同时也表示第i小块曲面的面积),在iS上任取一点),,,(iii作乘积),,2,1(),,(niSfiiii并作和,),,(1niiiiiSf如果当各小块曲面的直径的最大值0时,这和式的6/8极限存在,则称此极限值为),,(zyxf在上第一类曲面积分或对面积的曲面积分，记为niiiiiSfdSzyxf10),,(lim),,((4.2)其中),,(zyxf称为被积函数，称为积分曲面.二、对坐标的曲面积分：定义设函数，，与定义在双侧曲面上的函数．在所指定的一侧作分割它把分成个小曲面（），分割的细度，以，，分别为在三个坐标上的投影区域的面积，它们的符号由的方向来确定．如的法线正向与轴正向成锐角时，在平面上的投影区域的面积为正，反之，如的法线正向与轴正向成钝角时，在平面上的投影区域的面积为负（）．在每个小曲面任取一点，若极限++存在且与分割与点的取法无关，则称此极限为函数，，d曲面所指定的一侧的第二型曲面积分，记为(1)上述积分(1)也可写作++在物理上的运用：PQRSSTSnnSSS,,21ni,,2,1T的直径iniST1maxyziSzxiSxyiSiSiSiSziSxyxyiSiSziSxyxyiSni,,2,1iSiii,,niiiiiTyzSP10,,limniiiiiTzxSQ10,,limniiiiiTxySR10,,limTiii,,PQRSSdxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP,,,,,,SdydzzyxP,,SdzdxzyxQ,,SdxdyzyxR,,7/8曲面积分在物理上的常用习题上述曲线积分与曲面积分的定义与性质及运用，充分体现了物理与高等数学在某些问题上的相关性，再次揭示了高数与物理的紧密关系。8/8华北水利水电学院结课论文科目：高等数学专业：测绘工程姓名：刘云备韩华龙学号：201001205201001230指导老师：朱倩