您好,欢迎访问三七文档
当前位置:首页 > 商业/管理/HR > 咨询培训 > 专升本高数(二)复习资料
教育在线BBS论坛成人高考专版教育在线BBS论坛成人高考专版:=7版主:zh82采编!在此要特别感谢:bestya1第一章函数、极限和连续§1.1函数一、主要内容㈠函数的概念1.函数的定义:y=f(x),x∈D定义域:D(f),值域:Z(f).2.分段函数:21)()(DxxgDxxfy3.隐函数:F(x,y)=04.反函数:y=f(x)→x=φ(y)=f-1(y)y=f-1(x)定理:如果函数:y=f(x),D(f)=X,Z(f)=Y是严格单调增加(或减少)的;则它必定存在反函数:y=f-1(x),D(f-1)=Y,Z(f-1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。㈡函数的几何特性1.函数的单调性:y=f(x),x∈D,x1、x2∈D当x1<x2时,若f(x1)≤f(x2),则称f(x)在D内单调增加();若f(x1)≥f(x2),则称f(x)在D内单调减少();若f(x1)<f(x2),则称f(x)在D内严格单调增加();若f(x1)>f(x2),则称f(x)在D内严格单调减少()。2.函数的奇偶性:D(f)关于原点对称偶函数:f(-x)=f(x)奇函数:f(-x)=-f(x)3.函数的周期性:周期函数:f(x+T)=f(x),x∈(-∞,+∞)周期:T——最小的正数4.函数的有界性:|f(x)|≤M,x∈(a,b)㈢基本初等函数1.常数函数:y=c,(c为常数)2.幂函数:y=xn,(n为实数)3.指数函数:y=ax,(a>0、a≠1)4.对数函数:y=logax,(a>0、a≠1)5.三角函数:y=sinx,y=conxy=tanx,y=cotxy=secx,y=cscx教育在线BBS论坛成人高考专版教育在线BBS论坛成人高考专版:=7版主:zh82采编!在此要特别感谢:bestya26.反三角函数:y=arcsinx,y=arcconxy=arctanx,y=arccotx㈣复合函数和初等函数1.复合函数:y=f(u),u=φ(x)y=f[φ(x)],x∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算(加、减、乘、除)和复合所构成的,并且能用一个数学式子表示的函数。二、例题分析例1.求下列函数的定义域:⑴211)(2xxxf解:对于211x有:21x≠0解得:x≠±1对于2x有:2x≥0x≥-2∴)(xf的定义域:,11,11,2x⑵xxf2ln1)(解:由x2ln1得:02lnx,解得:1x由x2ln得:x2>0,x<2∴)(xf的定义域:2,11,x例2.设f(x)的定义域为(-1,1)则f(x+1)的定义域为A.(-2,0),B.(-1,1),C.(0,2),D.[0,2][]解:∵-1<x+1<1∴-2<x<0即f(x+1)的定义域为:x∈(-2,0)应选A.例3.下列f(x)与g(x)是相同函数的为A.xxf)(,2)(xxg教育在线BBS论坛成人高考专版教育在线BBS论坛成人高考专版:=7版主:zh82采编!在此要特别感谢:bestya3B.2)(xxf,xxg)(C.2ln)(xxf,xxgln2)(D.xxfln)(,xxgln)(21[]解:A.,)(fD,,0)(gDB.,)(fD,,)(gD00)(2xxxxxxf00)(xxxxxxg应选BC.,00,)(fD,,0)(gDD.,0)(fD,,00,)(gD例4.求)3(log2xya,)1,(aa的反函数及其定义域。解:∵)3(log2xya,)1,(aa∴,3x,,y∵在(-3,+∞)内,函数是严格单调的32yax∴反函数:3)(21xaxfy,3,yx例5.设0,1,1)(2xxxf则其反函数)(1xf。解:∵1,0,0,1,12yxxy在0,1内)(xf是严格单调增加的教育在线BBS论坛成人高考专版教育在线BBS论坛成人高考专版:=7版主:zh82采编!在此要特别感谢:bestya4∴21yx又∵0,1x∴取21yx即:211)(xxfy0,1,1,0yx(应填21x)例6.设函数)(1xf和)(2xf是定义在同一区间)(fD上的两个偶函数,则)()(21xfxf为函数。解:设)()()(21xfxfxF∵)()()(21xfxfxF=)()()(21xFxfxf∴)()(21xfxf是偶函数(应填“偶”)例7.判断)1ln()(2xxxf的奇偶性。解:∵])(1ln[)(2xxxf)1ln(2xx2221)1)(1(lnxxxxxx222211ln11lnxxxxxx12)1ln(xx)()1ln(2xfxx∴)(xf为奇函数例8.设xxfcos)(,教育在线BBS论坛成人高考专版教育在线BBS论坛成人高考专版:=7版主:zh82采编!在此要特别感谢:bestya5则)(xf的周期为。解法一:设)(xf的周期为T,)cos()](cos[)(TxTxTxf=xxfcos)(∴xTxcoscos而uucos2cos∴2T,∴2T解法二:∵xxfcos)()2cos(x)2(cosx)2(xf∴2T(应填2)例9.指出函数)1sin(ln)(xxf那是由些简单函数复合而成的?解:令)1sin(lnxu,则uuf)()1sin(xv,则vuln1xw,则wvsin∴)(xf是由:uuf)(,vuln,wvsin,1xw复合而成的。例10.已知xexgxxf)(,)(3,则)]([xgf等于A.xe3,B.3xe,C.3xe,D.3ex[]教育在线BBS论坛成人高考专版教育在线BBS论坛成人高考专版:=7版主:zh82采编!在此要特别感谢:bestya6解:∵xexgxxf)(,)(3∴xxxeeefxgf33)()()]([或xxeexgxgf333)()]([)]([(应选A)例11.已知xxfxxf)]([),1ln()(求)(x的表达式。解:∵xxxf)](1ln[)]([解得xex)(1∴1)(xex§1.2极限一、主要内容㈠极限的概念1.数列的极限:Aynnlim称数列ny以常数A为极限;或称数列ny收敛于A.定理:若ny的极限存在ny必定有界.2.函数的极限:⑴当x时,)(xf的极限:AxfAxfAxfxxx)(lim)(lim)(lim教育在线BBS论坛成人高考专版教育在线BBS论坛成人高考专版:=7版主:zh82采编!在此要特别感谢:bestya7⑵当0xx时,)(xf的极限:Axfxx)(lim0左极限:Axfxx)(lim0右极限:Axfxx)(lim0⑶函数极限存的充要条件:定理:AxfxfAxfxxxxxx)(lim)(lim)(lim000㈡无穷大量和无穷小量1.无穷大量:)(limxf称在该变化过程中)(xf为无穷大量。X再某个变化过程是指:,,,xxx000,,xxxxxx2.无穷小量:0)(limxf称在该变化过程中)(xf为无穷小量。3.无穷大量与无穷小量的关系:定理:)0)((,)(1lim0)(limxfxfxf教育在线BBS论坛成人高考专版教育在线BBS论坛成人高考专版:=7版主:zh82采编!在此要特别感谢:bestya84.无穷小量的比较:0lim,0lim⑴若0lim,则称β是比α较高阶的无穷小量;⑵若clim(c为常数),则称β与α同阶的无穷小量;⑶若1lim,则称β与α是等价的无穷小量,记作:β~α;⑷若lim,则称β是比α较低阶的无穷小量。定理:若:;,2211~~则:2121limlim㈢两面夹定理1.数列极限存在的判定准则:设:nnnzxy(n=1、2、3…)且:azynnnnlimlim则:axnnlim2.函数极限存在的判定准则:设:对于点x0的某个邻域内的一切点教育在线BBS论坛成人高考专版教育在线BBS论坛成人高考专版:=7版主:zh82采编!在此要特别感谢:bestya9(点x0除外)有:)()()(xhxfxg且:Axhxgxxxx)(lim)(lim00则:Axfxx)(lim0㈣极限的运算规则若:BxvAxu)(lim,)(lim则:①BAxvxuxvxu)(lim)(lim)]()(lim[②BAxvxuxvxu)(lim)(lim)]()(lim[③BAxvxuxvxu)(lim)(lim)()(lim)0)((limxv推论:①)]()()(lim[21xuxuxun)(lim)(lim)(lim21xuxuxun②)(lim)](lim[xucxuc③nnxuxu)]([lim)](lim[㈤两个重要极限教育在线BBS论坛成人高考专版教育在线BBS论坛成人高考专版:=7版主:zh82采编!在此要特别感谢:bestya101.1sinlim0xxx或1)()(sinlim0)(xxx2.exxx)11(limexxx10)1(lim二、例题分析例1.求数列45,34,23,12的极限。解:nnnny11111limlim1nnnny例2.计算nnnn3321lim2解:∵2)1(321nnn∴nnnnnnnnn3)1(lim3321lim2212nnnnnnnn11)3()1(lim2131lim212111lim2131nnn教育在线BBS论坛成人高考专版教育在线BBS论坛成人高考专版:=7版主:zh82采编!在此要特别感谢:bestya11误解:nnnn3321lim2nnnnnnnnnn33332312222lim31333231limlimlimlim222nnnnnnnnnnn=0例3.下列极限存在的是A.,lim12xxxB.,lim2)1(xxxxC.,lim121xxD.,limxxe[]解
本文标题:专升本高数(二)复习资料
链接地址:https://www.777doc.com/doc-5855618 .html