第13讲分布函数

为了对离散型的和连续型的r.v以及更广泛类型的r.v给出一种统一的描述方法，引进了分布函数的概念.f(x)xo0.10.30.6kPK012———|——xXx一、定义：设X是一个r.v，称)()(xXPxF)(x为X的分布函数.记作X～F(x)或FX(x).如果将X看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数F(x)的值就表示X落在区间],(x的概率.问：在上式中，X,x皆为变量.二者有什么区别？x起什么作用？F(x)是不是概率？X是随机变量,x是参变量.F(x)是r.vX取值不大于x的概率.xxXPxF),()(由定义，对任意实数x1x2，随机点落在区间（x1,x2]的概率为：P{x1Xx2}=P{Xx2}-P{Xx1}=F(x2)-F(x1)因此，只要知道了随机变量X的分布函数，它的统计特性就可以得到全面的描述.xxXPxF),()(分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用数学分析的工具来研究随机变量.xxXPxF),()(二、离散型r.v的分布函数设离散型r.vX的概率函数是P{X=xk}=pk,k=1,2,3,…xxkkp则F(x)=P(Xx)=由于F(x)是X取的诸值xk的概率之和，故又称F(x)为累积概率函数.x离散型随机变量分布函数的计算举例当x0时，{Xx}=，故F(x)=0例1212613110~X，求F(x).当0x1时，F(x)=P(Xx)=P(X=0)=31F(x)=P(Xx)解:当1x2时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)=+=316121当x2时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1例1212613110~X，求F(x).F(x)=P(Xx)解:故注意右连续下面我们从图形上来看一下.2,121,2110,310,0)(xxxxxF212121103100xxxxxF,,/,/,)(概率函数图31120x)(xXP612113121120x)(xXP612161OOO1)(xF分布函数图画分布函数图212613110~X不难看出，F(x)的图形是阶梯状的图形，在x=0，1，2处有跳跃，其跃度分别等于P(X=0),P(X=1),P(X=2).3121120x612161OOO1)(xF例2X具有离散均匀分布，即P(X=xi)=1/n,i=1,2,…，n，x(1)xx(2)时，F(x)=P(Xx)=1/n,x(2)xx(3)时，F(x)=P(Xx)=2/n,显然，xx(1)时，F(x)=P(Xx)=0,解：将X所取的n个值按从小到大的顺序排列为：求X的分布函数.x(1)x(2)…x(n)x(k)xx(k+1)时，F(x)=P(Xx)=k/n,xx(n)时，F(x)=P(Xx)=1解：将X所取的n个值按从小到大的顺序排列为：求X的分布函数.x(1)x(2)…x(n)例2X具有离散均匀分布，即P(X=xi)=1/n,i=1,2,…，n，于是得),,(max,1),,2,1(),,,(min,),,(min,0)(111njnnxxxxknjxxxxnkxxxxF当个不大于恰有中且当当这个结果在数理统计中有用.例2X具有离散均匀分布，即P(X=xi)=1/n,i=1,2,…，n，求X的分布函数.三、连续型r.v的分布函数即分布函数是密度函数的可变上限的定积分.若X是连续型r.v，X～f(x),则F(x)=P(Xx)=xdttf)(～由上式可得，在f(x)的连续点，)()(xfdxxdF下面我们来求一个连续型r.v的分布函数.例3设r.vX的密度函数为f(x)其它0,11,12)(2xxxf求F(x).F(x)=P(Xx)=xdttf)(解：求F(x).解：对x-1，F(x)=0xdttdtxF121120)(21arcsin112xxx,11x对对x1，F(x)=1其它,011,12)(2xxxf1,111,21arcsin111,0)(2xxxxxxxF即四、分布函数的性质(1)F(x)非降，即若x1x2，则F(x1)F(x2);(2)F()=F(x)=0xlim(3)F(x)右连续，即)()(lim00xFxFxx如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.vX的分布函数.也就是说，性质(1)--(3)是鉴别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分必要条件.F()=F(x)=1xlim试说明F(x)能否是某个r.v的分布函数.例4设有函数F(x)其它00sin)(xxxF解：注意到函数F(x)在上下降，不满足性质(1)，故F(x)不能是分布函数.],2[不满足性质(2)，可见F(x)也不能是r.v的分布函数.或者0)(lim)(xFFx例5在区间[0，a]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求X的分布函数.解：设F(x)为X的分布函数，当x0时，F(x)=P(Xx)=00a当xa时，F(x)=1当0xa时，P(0Xx)=kx(k为常数)由于P(0Xa)=1ka=1，k=1/a0aF(x)=P(Xx)=P(X0)+P(0Xx)=x/a例5在区间[0，a]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求X的分布函数.解：设F(x)为X的分布函数，axaxaxxxF,10,0,0)(例5在区间[0，a]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求X的分布函数.这就是在区间[0，a]上服从均匀分布的随机变量的分布函数.请看演示概率密度与分布函数xdttfxF)()(大家一起来作下面的练习.求F(x).其它,021,210,)(~xxxxxfX例6设由于f(x)是分段表达的，求F(x)时注意分段求.xdttfxF)()(=01xtdt0xdtttdt110)2(0x10x21x2xF(x)其它,021,210,)(~xxxxxfX对连续型r.v，若已知F(x)，我们通过求导也可求出f(x)，请看下例.2,121,21210,20,0)(22xxxxxxxxF即1110002xxxxxF,,,)(例7设r.vX的分布函数为(1)求X取值在区间(0.3,0.7)的概率；(2)求X的概率密度.解:(1)P(0.3X0.7)=F(0.7)-F(0.3)=0.72-0.32=0.4dxxdF)((2)f(x)=注意到F(x)在1处导数不存在，根据改变被积函数在个别点处的值不影响积分结果的性质，可以在没意义的点处，任意规定的值.)(xF)(xF其它,010,2xx例8设已使用了t小时的电子管在以后小时内损坏的概率为，其中是正常数，是的高阶无穷小，若电子管寿命X为零的概率为零，求X的概率分布。t()tot()ott解：使用t小时后电子管在之后的小时内损坏的概率为t()().PtXttXttot{()()}()()PtXttXtPtXttXtPXt由条件概率的定义()()().1()1()PtXttFttFtPXtFt()()(),1()FttFttotFt()()()[1()][]FttFtotFttt即令，两边取极限得0t()[1()].FtFt通解为()1tFtCe据初始条件得于是0()0,tFt1,C()1,0,tFtet1,0,()0,0.tetFtt故X的分布函数为,0,()0,0.tetftt故X的概率密度为X服从参数为的指数分布这一讲我们介绍了r.v的分布函数.分布函数离散型r.v的分布函数连续型r.v的分布函数分布函数的性质概率函数与分布函数的关系概率密度与分布函数的关系下一讲，我们将向大家介绍随机变量函数的分布.