有限域上的多项式及其性质

序号：编码：湖北师范学院第五届“挑战杯”大学生课外学术科技作品竞赛作品申报书作品名称：有限域上的多项式及其性质院系全称：数学与统计学院申报者姓名：黄艳杨佳鸿类别：√自然科学类学术论文□哲学社会科学类社会调查报告和学术论文□科技发明制作A类□科技发明制作B类A1．申报者情况（个人项目）说明：1．必须由申报者本人按要求填写，申报者情况栏内必须填写个人作品的第一作者（承担申报作品60%以上的工作者）；2．本表中的学籍管理部门签章视为对申报者情况的确认。姓名黄艳性别女出生年月1988年8月申报者情况学校全称湖北师范学院专业数学与应用数学现学历本科在读年级大学三年级学制4年入学时间2008年9月作品全称有限域上的多项式及其性质毕业论文题目未毕业通讯地址湖北师范学院数学与统计学院0801班邮政编码435001单位电话[phone]常住地通讯地址湖北师范学院数学与统计学院0801班17栋112邮政编码435001住宅电话[phone]合作者情况姓名性别年龄学历所在单位杨佳鸿女22本科湖北师范学院数学与统计学院0801班资格认定院（系）学籍管理部门意见是否为2011年7月1日前正式注册在校的全日制非成人教育、非在职的各类高等院校中国学生（含专科生、本科生和研究生）。√是□否若是，其学号为：2008111010168（部门盖章）年月日院（系）负责人或导师意见本作品是否为课外学术科技或社会实践活动成果√是□否负责人签名：年月日B1．申报作品情况（自然科学类学术论文）说明：1．必须由申报者本人填写；2．本部分中的科研管理部门签章视为对申报者所填内容的确认；3．作品分类请按作品的学术方向或所涉及的主要学科领域填写；作品全称有限域上的多项式及其性质作品分类（Ca）A．机械与控制（a机械b仪器仪表c自动化控制d工程e交通f建筑g）B.信息技术（a计算机b电信c通讯d电子e）C．数理（a数学b物理c地球与空间科学d）D．生命科学（a生物b农学c药学d医学e健康d卫生e食品f）E．能源化工（a能源b材料c石油d化学e化工f生态、g环保h）作品撰写的目的和基本思路有限域的一个主要应用是编码理论。代数编码理论的主要目的是设计纠错码和检错码的方法。在过去的几十年里，越来越多的抽象代数工具如有限域理论及有限域上的多项式理论影响着编码。特别地，应用有限域上多项式描述冗余码更是这一发展的里程碑。有限域上多项式的理论对于探究有限域上代数结构及其运用非常重要。有限域上不可约多项式尤其是本原多项式被广泛应用在产生伪随机序列尤其在二元周期序列上。多项式的阶，应用意义非凡，如线性变换序列的最小多项式的阶给出了线性变换的最小周期，有限域上循环码的最小长度也是其生成多项式的阶。鉴于有限域上多项式及其阶的重要性，本文我们将介绍有限域上多项式()rfx及自反多项式的阶。作品的科学性、先进性及独特之处本文完整的证明了有限域上多项式()rfx及自反多项式的阶，对于所有素数r，完全解决了多项式()rfx阶的问题；对2F上自反多项式()fx的阶，得到其阶为3的倍数的充要条件是()fx整除2F上某个三项式作品的实际应用价值和现实意义有限域上多项式的理论对于探究有限域上代数结构及其运用非常重要。有限域上不可约多项式尤其是本原多项式被广泛应用在产生伪随机序列尤其在二元周期序列上。多项式的阶，应用意义非凡，如线性变换序列的最小多项式的阶给出了线性变换的最小周期，有限域上循环码的最小长度也是其生成多项式的阶学术论文文摘本文首先讨论有限域上多项式()rfx及自反多项式的阶，对于所有素数r，完全解决了多项式()rfx阶的问题；对2F上自反多项式()fx的阶，得到其阶为3的倍数的充要条件是()fx整除2F上某个三项式。作品在何时、何地、何种机构举行的会议上或报刊上发表及所获奖励无鉴定结果请提供对于理解、审查、评价所申报作品具有参考价值的现有技术及技术文献的检索目录[1]R.Lidl,H.Niedrreiter,FiniteFields,EncyclopediaMath.Appl.,vol.20,CambridgeUniv.Press,Cambridge,1997.[2]万哲先，《代数和编码》，高等教育出版社，2007年第三版。[3]OmranAhmadi,GerardoVega,Ontheparityofthenumberofirreduciblefactorsofself-reciprocalpolynomialsoverfinitefields,FiniteFieldsandTheirApplications,14(2008),124-131申报材料清单（申报论文一篇，相关资料名称及数量）申报论文一篇院（系）意见及签章年月日C.当前国内外同类课题研究水平概述说明：1.申报者可根据作品类别和情况填写；2.填写此栏有助于评审。有限域的主要应用是编码理论和密码理论。密码也是一种编码。代数编码理论的主要目的是设计纠错码和检错码的方法。在过去的几十年里，越来越多的抽象代数工具如有限域理论及有限域上的多项式理论影响着编码。特别地，应用有限域上多项式描述冗余码更是这一发展的里程碑。有限域上多项式的理论对于探究有限域上代数结构及其应用非常重要。有限域上不可约多项式尤其是本原多项式被广泛应用在产生伪随机序列尤其在二元周期序列上。多项式的阶，应用意义非凡，如线性变换序列的最小多项式的阶给出了线性变换的最小周期，有限域上循环码的最小长度也是其生成多项式的阶等等。鉴于有限域、有限域及其上的多项式和多项式阶的重要性，很多应用中需要，而专门探讨有限域上多项式阶的算法和性质的成果并不多见，于是，我们的作品将选取两类相对特殊的多项式()rfx及自反多项式，探讨其阶的特点和性质，得到较好的结论。D.推荐者情况及对作品的说明说明：1．由推荐者本人填写；2．推荐者是与申报作品相同或相关领域的专家学者或专业技术人员（教研组集体推荐亦可）；3．推荐者填写此部分，即视为同意推荐；4．推荐者所在单位签章仅被视为对推荐者身份的确认。推荐者情况姓名陈引兰性别女年龄37职称副教授工作单位湖北师范学院数学与统计学院推荐者所在单位签章（签章）年月日请对申报者申报情况的真实性作出阐述该作品确属申报者在本人的指导下选题、阅读文献，独自进行论证，至最终完成作品。请对作品的意义、技术水平、适用范围及推广前景作出您的评价作品选题于广泛应用于编码理论和密码理论的有限域及其上的多项式，重点讨论两类多项式的阶的问题，得到较好的结果。为有限域上一般不可约多项式的阶的计算作了较好的铺垫。其它说明有限域上的多项式及其性质湖北师范学院数学与统计学院黄艳杨佳鸿指导老师：陈引兰摘要：本文首先讨论有限域上多项式()rfx及自反多项式的阶，对于所有素数r，完全解决了多项式()rfx阶的问题；对2F上自反多项式()fx的阶，得到其阶为3的倍数的充要条件是()fx整除2F上某个三项式。关键词：有限域，多项式的阶，不可约多项式，自反多项式。一引言有限域的一个主要应用是编码理论。代数编码理论的主要目的是设计纠错码和检错码的方法。在过去的几十年里，越来越多的抽象代数工具如有限域理论及有限域上的多项式理论影响着编码。特别地，应用有限域上多项式描述冗余码更是这一发展的里程碑。有限域上多项式的理论对于探究有限域上代数结构及其运用非常重要。有限域上不可约多项式尤其是本原多项式被广泛应用在产生伪随机序列尤其在二元周期序列上。多项式的阶，应用意义非凡，如线性变换序列的最小多项式的阶给出了线性变换的最小周期，有限域上循环码的最小长度也是其生成多项式的阶。鉴于有限域上多项式及其阶的重要性，本文我们将介绍有限域上多项式()rfx及自反多项式的阶。二预备知识本节给出了预备知识，详述见文献[1]或[2]。让fx是有限域qF上的多项式，我们称fx是不可约的，如果fx的次数是正的，且fgh，,qghFx，那么或者g，或者h为常数多项式。令nqF是qF的次数为n的扩张，因此我们有nqqFxFfx，其中fx是qF上n次不可约多项式。我们定义*qF=\0qF，所以*qF是阶为1q的循环群。如果是*qF的生成元，即*qF=|0,1,2,...,1iiq，我们称是*qF的原根。如果fx的所有根是*nqF的原根，那么我们称qfxFx是次数为n的本原多项式。多项式的阶（周期）定义如下：让qfxFx是一个非零多项式，如果00f，满足fx整除1ex的最小正整数e，称为f的阶，记作：(())ordfx，或简记为()ordf，即()ordfe。如果00f，hfxxgx，hN,qgFx（00g），那么ordf即为ordg。很显然，一个多项式是n次本原多项式当且仅当1nordfq。我们用gcd,fxgx表示fx与gx的最大公因式，(,)lcmfxgx表示fx与gx的最小公倍式，fx|gx表示fx整除gx。三有限域上多项式()rfx的阶本节我们将讨论有限域qF上多项式()rfx的阶，r是任意的素数。引理3.1设()qfFx是一个次数1m的多项式，且(0)0f，假定1,2,...,m是f在其分裂域上根，且都是单根，则()ordf是满足ei=1的最小的正整数e，其中1im。证明由题设，我们可以假定12()()...()mfxaxxx，而0qaF。根据阶的定义，e是使(1)rfxx最小的正整数r，又0if，（1im）所以10ei（1im），因此e是最小的正整数即1ei（1im）由于x的幂在确定多项式的阶之前可以先分解出来，所以我们不用考虑不可约多项式()gx（(0)0g）的幂的阶。这里，我们先给出不可约多项式gx(00g)的幂的阶和两两互素多项式的积的阶。下面三个定理的证明在文献[1]中可以找到。引理3.2设qgFx是qF上的不可约多项式，且00g，()ordge，记bfg（bN）,t是最小的整数满足tpb，qCharFp，则()tordfep。引理3.3设12,,...kggg是qF上两两互素多项式，记12...kfggg，则12()((),,...,())kordflcmordgordgordg引理3.4设qF是特征值p的有限域，()qfFx是正次数的多项式且00f。设1212...kbbbkfafff是f在qFx上的标准分解，其中qaF，1,2,...,kbbbN，12,,...,kfff是qFx中不同的首一不可约多项式，则()tordfep，其中12((),(),...,())kelcmordfordfordf，t是满足12max{,,...}tkpbbb的最小的整数。命题3.5设qfFx同定理3.1中一样，令bN，则()()btordfordfp，t是满足的tpb最小的整数。证明如果f是不可约的，则可利用定理3.2.如果f是可约的，根据条件，f无重根，故可令f=12...kggg，其中12,,...,kggg是qF上的两两互素的多项式。因此12...bbbbkfggg。根据定理3.4，我们有()bordf12{(),(),...()}klcmordfordfordftp其中t是满足tpb的最小的正整数，而()ordf=12{(),(),...()}klcmordfordfordf故()bordf()ordftp。定理3.6设qF是特征值p的有限域，设qfFx是一个次数为正数的多项式，且00f，则(())()pordfxordfp.证明：对于特征值p的有限域的任何多项式，我们有()()ppfxfx，有(())()pordfxordfp.（由定理3.4和性质3.5）定理3.7设qfFx是不可约多项式，且(0)0f,r是一个不整除q的素数