《鲁棒控制》-7-非线性系统鲁棒控制

《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生第七章非线性系统鲁棒控制7.1非线性系统描述7.1.1非线性系统与坐标变换非线性系统的一般描述：()()()(),,,nxtfxuxythxu=∈=R（1.1）考虑如下非线性坐标变换()nzx=Φ∈R若其具有如下特性：(1)()xΦ是可逆的，即存在函数()xΨ，其满足()()(),nzxxxΨ=ΨΦ=∀∈R(2)()xΦ和()xΨ均是光滑映射，即均有任意阶偏导数；则()xΦ是一全局微分同胚。若其具有如下特性：(1)()xΦ是nR的子集U上的光滑映射；(2)在点0xx=∈U处，Jacobi矩阵()Txx∂Φ∂非奇异；则()xΦ是一局部微分同胚。对于z坐标，系统描述为()()()(),,ztfzuythzu==其中()()()()()()(),,,,Txzxzxfzufxuxhzuhxu=Ψ=Ψ∂Φ=∂=7.1.2仿射非线性系统运动方程具有如下形式的非线性系统称为仿射非线性系统。()()()()()()xtfxgxuythxjxu=+=+（1.2）《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生定义（最小相位）：如果当0,0uy≡≡时，系统()()(),0xtfxhx==是（渐近）稳定的，则称系统(1.2)为（严格）最小相位系统。定义（相对阶--SISO系统）：如果SISO仿射非线性系统在0xx=的一个邻域内满足()()100,0,1,,20kgfrgfLLhxkrLLhx−==−≠则称该系统在0xx=处具有相对阶r，其中()()()()()()()()()()()()()02,,ffTkffkfgfTThxLhxhxLhxfxxLhxLhxLhxfxLLhxgxxx∂==∂∂∂==∂∂定义（相对阶--MIMO系统）：对于MIMO仿射非线性系统,设,muy∈R，若在0xx=的一个邻域内满足()0,1,,1jkgfiiLLhxijmkr=≤−且mm×矩阵()0Ax非奇异，这里()()()()()()1110101111011mimmmrrgfgfrijrrxgfmgfmxLLhxLLhxyAxuLLhxLLhx−−−−⎡⎤⎡⎤⎢⎥∂==⎢⎥⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则称该系统在0xx=处具有相对阶()12,,,mrrr。仿射非线性系统的几种典型描述：规范型纯反馈型严格反馈型严格反馈型--链式结构严格反馈型--三角形结构严格前馈型●规范型对于具有相对阶()12,,,mrrr的仿射非线性系统，存在坐标变换()Txzξ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦将此仿射非线性系统的描述变换为如下规范型《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生()()()()12111,,,,1,2,,iiiiiiirrmiriijjjiizqzpzubzazuyimξξξξξξξξξξ−==+===+==∑（1.3）其中1,mriizrr=∈=∑R。上述坐标变换的一种可能选取为()()()()()112211,2,,iiiiiiiifiriirrfiTxyTxLhxTxLhximξξξ−=======选取剩余nr−个函数()()()12,,,rrnTxTxTx++使得矩阵()0TxTxx∂∂为非奇异。若令0y≡，则0ξ≡。如果仿射非线性系统在(),0z处具有相对阶()12,,,mrrr，则矩阵{}(,0)(,0)ijAzaz=非奇异。此时，令{}(,0)(,0)iBzbz=，则0(,0)(,0)BzAzu=+解得1(,0)(,0)uAzBz−=−。将此u代入规范型，得()()()()()1*,0,0,0,0zqzpzAzBzfz−=−●零动态：称系统()*zfz=为系统(1.3)的零动态（子系统）。●弱最小相位系统：如果系统(1.3)的零动态是稳定的，则称之为弱最小相位系统。●最小相位系统：如果系统(1.3)的零动态是渐近稳定的，则称之为最小相位系统。●零状态可观测：如果成立《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生()(){}(){}0,00utytxt≡≡⇒≡则称系统(1.3)是零状态可观测的。●零状态可检测：如果成立()(){}(){}00,0lim0tutytxt→≡≡⇒=则称系统(1.3)是零状态可检测的。●零输入可检测：如果成立(){}(){}00lim0tytut→≡⇒=则称系统(1.3)是零输入可检测的。●纯反馈型()()()()()()11112221231112112,,,,,,,,,,,,,,,lllllllfgffffuηηηξξηξξξηξξξξηξξξξξηξξξ−−−=+====●严格反馈型()()()()()()()()()()1111112221221231112111211212,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,lllllllllllfgbabababauηηηξξηξηξξξηξξηξξξξηξξξηξξξξξηξξξηξξξ−−−−−=+=+=+=+=+●严格反馈型--链式结构()11223,lfuηηξξξξξξ====●严格反馈型--三角形结构《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生()()()()1211232121112112,,,,,,,nnnnnnnbbbubξξξξξξξξξξξξξξξξ−−−=+=+=+=+●严格前馈型()()()12123231311,,,,,,,,nnnnnnnfufufuuξξξξξξξξξξξξξ−−=+=+=+=7.2非线性系统的耗散性7.2.1耗散性考虑非线性系统：()()()(),,,,,npqxtfxuxuythxuy=∈∈=∈RRR（2.1）其中()()0,00,0,00fh==。●耗散性：设函数(),:pquyω×RRR，对于系统（2.1）若存在半正定函数():nSx+RR，使得对任意初始状态()0x和时间τ，成立()()()()()00,SxSxuydtττω≤+∫（2.2）则称系统（2.1）是耗散的，称(),uyω为供给率，称()Sx为储存函数，式（2.2）为耗散不等式。若进而存在正定函数()Wx，使得()()()()()()000,SxSxuydtWxdtτττω≤++∫∫则称系统（2.1）是严格耗散的。当储存函数()Sx可微时，耗散不等式（2.2）等价于其微分形式：(),Suyω≤《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生7.2.2无源性●无源性：若系统（2.1）是方的，即pq=，且关于供给率(),Tuyuyω=是耗散的，则称系统（2.1）是无源的。●输入严格无源：若系统（2.1）是方的，且存在常数0δ，使得系统（2.1）关于供给率(),TTuyuyuuωδ=−是耗散的，则称系统（2.1）是输入严格无源的，其输入无源度为δ。●输出严格无源：若系统（2.1）是方的，且存在常数0γ，使得系统（2.1）关于供给率(),TTuyuyyyωγ=−是耗散的，则称系统（2.1）是输出严格无源的，其输出无源度为γ。●状态严格无源：若系统（2.1）是方的，且存在半正定函数()Sx和正定函数()Wx，使得()()()()()000TuydtSxSxWxdtτττ≥−+∫∫则称系统（2.1）是状态严格无源的。●无源的充要条件：存在可微半正定存储函数()Sx，使得系统:()()()()()(),,,nmmxtfxgxuxuythxjxuy=+∈∈=+∈RRR为无源系统的充要条件是存在向量()(),lxwx，成立()()()()()()()()()()()212TfTTgTTLSxlxlxLSxhxlxwxjxjxwxwx≤−=−⎡⎤+=⎣⎦当上述充要条件成立时，称该系统具有KYP特性。7.2.3耗散性、无源性与稳定性●耗散性与稳定性：若系统(2.1)是耗散系统，储存函数()Sx在0x=处取严格最小值，即()()0,0SxSx∀≠，且供给率满足()0,0,yyω≤∀，则0x=是系统(2.1)的自由运动()(),0xtfx=的稳定平衡点。证明：选取Lyapunov函数为()()()0VxSxS=−。《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生●输出严格无源性与渐近稳定性：若零状态可检测系统:()()()()()(),,,nmmxtfxgxuxuythxjxuy=+∈∈=+∈RRR是输出严格无源的，储存函数()1Sx∈C为正定的，且()00S=，则0x=是系统()()xtfx=的局部渐近稳定平衡点；如果()Sx为无穷大的，则0x=是系统()()xtfx=的全局渐近稳定平衡点。●无源性与稳定性：若零状态可检测系统:()()()()()(),,,nmmxtfxgxuxuythxjxuy=+∈∈=+∈RRR是无源的，储存函数为()1Sx∈C，且()00S=，则0x=是稳定平衡点。考虑图示反馈系统。●耗散性与闭环稳定性：在图示反馈系统中，系统iH均是零状态可检测的，关于供给率(),TTTiiiiiiiiiiieyeyyyeeωρν=−−是耗散的，相应的储存函数为()1iSx∈C，且()00iS=，(1)若12210,0νρνρ+≥+≥则闭环系统在零输入下是稳定的；(2)若12210,0νρνρ++则闭环系统在零输入下是渐近稳定的。●耗散性与闭环稳定性：在图示反馈系统中，系统iH均是零状态可检测的，关于供给率()()(),TTTiiiiiiiiiiieyeyyyeeωρν=−−是耗散的，相应的储存函数为()1iSx∈C，当输入为零时有，(1)若对任意mw∈R，成立()()()()12210,0TTTTνρνρ+≥+≥则闭环系统是稳定的；(2)若对任意,0mww∈≠R，成立1H2H1uu=1ee=1yy=2y2u2e《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生()()()()12210,0TTTTνρνρ++则闭环系统是渐近稳定的；(3)若()()()()12210,,00,TTmTTmνρνρ+∀∈≠+≥∀∈RR系统1H在零输入下为渐近稳定或系统2H是零输入可检测的，则闭环系统是渐近稳定的；若进而()iSx均是无穷大的，则闭环系统是全局渐近稳定的。7.2.4γ-耗散性、无源性与2L增益考虑仿射非线性系统：()()()()()(),,,nmmxtfxgxuxuythxjxuy=+∈∈=+∈RRR（2.3）●γ-耗散性：若存在常数0γ，使得系统(2.3)关于供给率()()21,2TTuyuuyyωγ=−是耗散的，则称系统(2.3)是γ-耗散的，称()()21,2TTuyuuyyωγ=−为γ-供给率。当储存函数()Sx可微时，γ-耗散不等式等价于其微分形式：21122TTSuuyyγ≤−●γ-耗散的充要条件：设对于给定的0γ，成立()()2,TIjxjxxγ∀存在光滑可微的半正定储存函数()Sx，使得系统(2.3)为γ-耗散的充要条件是Hamilton-Jacobi-Issacs(HJI)不等式()()()()()()()()()()()1211220TTfgTTTgLSxhxhxLSxhxjxIjxjxLSxhxjxγ−⎡⎤+++⎣⎦⎡⎤⎡⎤−+≤⎣⎦⎣⎦i（2.4）具有半正定解()Sx。●2L增益：若系统(2.3)是γ-耗散的，则其具有不大于γ的2L增益。证：()()()()()()()()22201002utytdtSxSxSxτγτ⎡⎤−≥−≥−⎣⎦∫即《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生()()()()2220020ytdtutdtSxττγ≤+∫∫●输出严格无源性与2L增益：若系统(2.3)是输出严格无源的，则其具有有限2L增益。●无源性与2L增益：考虑仿射非线性系统()()()()()xtfxgxuythx=+=(a)和()()()()()()()2xtfxgxhxgxuythxu=−+=−(b)系统(a)是无源的充要条件为系统(b)的2L增益不大于1。●γ-耗散性与渐近稳定性：若零状态可检测系统:()()()()()(),,,nmmxtfxgxuxuythxjxuy=+∈∈=+∈RRR是γ-耗散的，储存函数为()1Sx∈C，则0x=是系统()()xtfx=的局部渐近稳定平