2018年高考数学(理)二轮复习 精品课件：专题三 三角函数、解三角形与平面向量 第2讲三角变换与解

第2讲三角变换与解三角形专题三三角函数、解三角形与平面向量热点分类突破真题押题精练Ⅰ热点分类突破热点一三角恒等变换1.三角求值“三大类型”“给角求值”“给值求值”“给值求角”.2.三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等.(2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等.(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次.(4)弦、切互化：一般是切化弦.例1(1)(2017·贵阳市第一中学适应性考试)已知sinα－2cosα＝102，则tan2α等于A.43B.－34C.34D.－43答案解析思维升华思维升华三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况.√＝55×31010－255×－1010＝22.(2)已知sinα＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于A.5π12B.π3C.π4D.π6解析因为α，β均为锐角，所以－π2α－βπ2.又sin(α－β)＝－1010，所以cos(α－β)＝31010.答案解析√又sinα＝55，所以cosα＝255，所以sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)所以β＝π4.思维升华跟踪演练1(1)(2017·河北省衡水中学三调)若α∈π2，π，且3cos2α＝sinπ4－α，则sin2α的值为A.－118B.118C.－1718D.1718答案解析√则cos2α＋π3＝1－2sin2α＋π6＝79.(2)(2017届山东省师大附中模拟)已知sinπ6－α－cosα＝13，则cos2α＋π3＝_____.解析∵sinπ6－α－cosα＝12cosα－32sinα－cosα＝－sinα＋π6＝13，答案解析∴sinα＋π6＝－13.79热点二正弦定理、余弦定理1.正弦定理：在△ABC中，asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为△ABC的外接圆半径).变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等.2.余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA.变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝b2＋c2－a22bc.例2(2017·全国Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋3cosA＝0，a＝27，b＝2.(1)求c；解由已知可得tanA＝－3，所以A＝2π3.在△ABC中，由余弦定理，得28＝4＋c2－4c·cos2π3，即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)或c＝4.所以c＝4.解答(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积.解由题设可得∠CAD＝π2，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝π6.故△ABD的面积与△ACD的面积的比值为12AB·AD·sinπ612AC·AD＝1.又△ABC的面积为12×4×2sin∠BAC＝23，所以△ABD的面积为3.思维升华解答∵sinB≠0，∴cosA＝12，而0Aπ2，∴A＝π3.解由acosC＝(2b－c)cosA，得sinAcosC＝(2sinB－sinC)cosA，即sinAcosC＋cosAsinC＝2sinBcosA，即sin(A＋C)＝2sinBcosA，即sinB＝2sinBcosA.解答跟踪演练2(2017·广西陆川县中学知识竞赛)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acosC＝(2b－c)cosA.(1)求角A；(2)若a＝7，△ABC的面积S△ABC＝103，求b＋c的值.解由S△ABC＝103，得12bcsinπ3＝103，∴bc＝40.∵a＝7，∴b2＋c2－2bccosπ3＝49，即b2＋c2＝89，于是(b＋c)2＝89＋2×40＝169，∴b＋c＝13(舍负).解答热点三解三角形与三角函数的综合问题解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点，主要考查三角形的基本量，三角形的面积或判断三角形的形状.例3(2017届湖北省稳派教育质量检测)已知函数f(x)＝cosωx·sinωx－π3＋3cos2ωx－34(ω0，x∈R)，且函数y＝f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值及f(x)的对称轴方程；解答(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分別为a，b，c.若f(A)＝34，sinC＝13，a＝3，求b的值.解答思维升华跟踪演练3(2017届青岛市统一质量检测)已知函数f(x)＝sin2x＋π3＋cos2x＋π6＋msin2x(m∈R)，fπ12＝2.(1)求m的值；解∵fπ12＝2，∴fπ12＝sin2×π12＋π3＋cos2×π12＋π6＋msin2×π12＝sinπ2＋cosπ3＋m2＝2，解答解得m＝1.(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2，fB2＝3，△ABC的面积是3，求△ABC的周长.解答Ⅱ真题押题精练解析∵等式右边＝sinAcosC＋(sinAcosC＋cosAsinC)＝sinAcosC＋sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinB，等式左边＝sinB＋2sinBcosC，∴sinB＋2sinBcosC＝sinAcosC＋sinB.由cosC＞0，得sinA＝2sinB.根据正弦定理，得a＝2b.真题体验1.(2017·山东改编)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是_____.(填序号)①a＝2b;②b＝2a;③A＝2B;④B＝2A.①1234答案解析＝2×19－1＝－79.2.(2017·北京)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sinα＝，cos(α－β)＝_____.答案解析13－79解析由题意知α＋β＝π＋2kπ(k∈Z)，∴β＝π＋2kπ－α(k∈Z)，又sinα＝13，∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－cos2α＋sin2α＝2sin2α－11234方法二tanα＝tanα－π4＋π4＝tanα－π4＋tanπ41－tanα－π4·tanπ4＝16＋11－16＝75.3.(2017·江苏)若tanα－π4＝16，则tanα＝_____.75解析方法一∵tanα－π4＝tanα－tanπ41＋tanαtanπ4＝tanα－11＋tanα＝16.∴6tanα－6＝1＋tanα(tanα≠－1)，∴tanα＝75.1234答案解析4.(2017·浙江)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC＝______.答案解析12341521041.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA＝23，sinB＝5cosC，并且a＝2，则△ABC的面积为_____.押题预测答案解析押题依据三角形的面积求法较多，而在解三角形中主要利用正弦、余弦定理求解，此题很好地体现了综合性考查的目的，也是高考的重点.押题依据12522.已知函数f(x)＝3sinωx·cosωx－cos2ωx(ω0)的最小正周期为2π3.解答押题依据三角函数和解三角形的交汇点命题是近几年高考命题的趋势，本题综合考查了三角变换、余弦定理和三角函数的值域，还用到数列、基本不等式等知识，对学生能力要求较高.押题依据(1)求ω的值；12(2)在△ABC中，sinB，sinA，sinC成等比数列，求此时f(A)的值域.解答12