2018年高考数学—导数专题

导数(选修2－2P18A7改编)曲线y＝sinxx在x＝π2处的切线方程为()A.y＝0B.y＝2πC.y＝－4π2x＋4πD.y＝4π2x解析∵y′＝xcosx－sinxx2，∴y′|x＝π2＝－4π2，当x＝π2时，y＝2π，∴切线方程为y－2π＝－4π2x－π2，即y＝－4π2x＋4π.(2016·天津卷)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________.解析因为f(x)＝(2x＋1)ex，所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，所以f′(0)＝3e0＝3.(2017·西安月考)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝________.解析y′＝a－1x＋1，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3.(2017·威海质检)已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为()A.x＋y－1＝0B.x－y－1＝0C.x＋y＋1＝0D.x－y＋1＝0解析∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xlnx上，∴设切点为(x0，y0).又∵f′(x)＝1＋lnx，∴y0＝x0lnx0，y0＋1＝（1＋lnx0）x0，解得x0＝1，y0＝0.∴切点为(1，0)，∴f′(1)＝1＋ln1＝1.∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y＝x＋lnx在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.解析法一∵y＝x＋lnx，∴y′＝1＋1x，y′|x＝1＝2.∴曲线y＝x＋lnx在点(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.∵y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，∴a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行).由y＝2x－1，y＝ax2＋（a＋2）x＋1消去y，得ax2＋ax＋2＝0.由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.法二同法一得切线方程为y＝2x－1.设y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切于点(x0，ax20＋(a＋2)x0＋1).∵y′＝2ax＋(a＋2)，∴y′|x＝x0＝2ax0＋(a＋2).由2ax0＋（a＋2）＝2，ax20＋（a＋2）x0＋1＝2x0－1，解得x0＝－12，a＝8.答案8(2017·西安质测)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为()A.(1，3)B.(－1，3)C.(1，3)和(－1，3)D.(1，－3)解析f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y＝2x－1上，故选C.(2015·天津卷)已知函数f(x)＝axlnx，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数，若f′(1)＝3，则a的值为________.解析f′(x)＝alnx＋x·1x＝a(1＋lnx)，由于f′(1)＝a(1＋ln1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.(2016·全国Ⅲ卷)已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________.解析设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝lnx－3x，又f(x)为偶函数，f(x)＝lnx－3x，f′(x)＝1x－3，f′(1)＝－2，切线方程为y＝－2x－1.答案2x＋y＋1＝0(2015·陕西卷)设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝1x(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________.解析y′＝ex，曲线y＝ex在点(0，1)处的切线的斜率k1＝e0＝1，设P(m，n)，y＝1x(x＞0)的导数为y′＝－1x2(x＞0)，曲线y＝1x(x＞0)在点P处的切线斜率k2＝－1m2(m＞0)，因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1，1).答案(1，1)(2016·北京卷)设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间.解(1)∵f(x)＝xea－x＋bx，∴f′(x)＝(1－x)ea－x＋b.由题意得f（2）＝2e＋2，f′（2）＝e－1，即2ea－2＋2b＝2e＋2，－ea－2＋b＝e－1，解得a＝2，b＝e.(2)由(1)得f(x)＝xe2－x＋ex，由f′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及e2－x0知，f′(x)与1－x＋ex－1同号.令g(x)＝1－x＋ex－1，则g′(x)＝－1＋ex－1.当x∈(－∞，1)时，g′(x)0，g(x)在(－∞，1)上递减；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)0，g(x)在(1，＋∞)上递增，∴g(x)≥g(1)＝1在R上恒成立，∴f′(x)0在R上恒成立.∴f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞).(2016·四川卷)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝()A.－4B.－2C.4D.2解析f′(x)＝3x2－12，∴x－2时，f′(x)0，－2x2时，f′(x)0，x2时，f′(x)0，∴x＝2是f(x)的极小值点.答案D(2016·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝lnx－x＋1.讨论f(x)的单调性；解依题意，f(x)的定义域为(0，＋∞).f′(x)＝1x－1，令f′(x)＝0，得x＝1，∴当0x1时，f′(x)0，f(x)单调递增.当x1时，f′(x)0，f(x)单调递减.(2015·北京卷)设函数f(x)＝x22－klnx，k0.求f(x)的单调区间和极值；解由f(x)＝x22－klnx(k0)，得x＞0且f′(x)＝x－kx＝x2－kx.由f′(x)＝0，解得x＝k(负值舍去).f(x)与f′(x)在区间(0，＋∞)上的变化情况如下表：x(0，k)k(k，＋∞)f′(x)－0＋f(x)k（1－lnk）2所以，f(x)的单调递减区间是(0，k)，单调递增区间是(k，＋∞).f(x)在x＝k处取得极小值f(k)＝k（1－lnk）2.(2017·西安调研)定积分01(2x＋ex)dx的值为()A.e＋2B.e＋1C.eD.e－1解析01(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)10)＝1＋e1－1＝e.故选C.(2015·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝lnx＋a(1－x).讨论f(x)的单调性；解f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a.若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增.若a＞0，则当x∈0，1a时，f′(x)＞0；当x∈1a，＋∞时，f′(x)＜0，所以f(x)在0，1a上单调递增，在1a，＋∞上单调递减.综上，知当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＞0时，f(x)在0，1a上单调递增，在1a，＋∞上单调递减.