第十一章无穷级数

1第十一章无穷级数无穷级数是数与函数的一种重要表达形式，也是微积分理论研究与实际应用中极其有力的工具.无穷级数在表达函数、研究函数的性质、计算函数值以及求解微分方程等方面都有着重要的应用.研究级数及其和，可以说是研究数列及其极限的另一种形式，但无论在研究极限的存在性还是在计算这种极限的时候，这种形式都显示出很大的优越性.本章先讨论常数项级数，介绍无穷级数的一些基本内容，然后讨论函数项级数，并着重讨论如何将函数展开成幂级数与三角级数的问题.第一节常数项级数的概念和性质本节主要内容1引言2常数项级数的概念3级数的基本性质4柯西审敛原理讲解提纲：一、无穷级数1nnu与其部分和数列}{ns具有同样的敛散性，1nnunnslim；二、收敛级数的性质：（1）级数满足线性运算；（2）在级数中改变、去掉或增加前面有限项，不会改变级数的收敛性.（3）在一个收敛级数中，任意添加括号所得到的新级数仍收敛于原来的和.（4）级数收敛的必要条件：若级数1nnu收敛，则0limnnu三、柯西审敛原理简介.例题选讲：利用级数的部分和数列讨论级数的敛散性：例1写出级数8.6.4.276.4.254.2321的一般项.解这级数的一般项为!)!2(!)!12(nn例2讨论级数)1(1321211nn的收敛性.解由于2111)1(1nnnnun因此级数的部分和为)1(1321211nnsn111)111()3121()211(nnn从而1)111(limlimnsnnn例3证明级数n321是发散的.证这级数的部分和为2)1(321nnnsn显然，nnslim，因此所给级数是发散的.例4讨论等比级数(又称为几何级数)nnnaqaqaqaaq20)0(a的收敛性.解如果1q，则部分和qaqqaqaqaaqaqaqasnnnn11112当1q时，由于0limnnq，从而qasnn1lim，因此这时级数收敛，其和为qa1.当1q时，由于nnqlim，从而nnslim，这时级数发散.如果1q，则当1q时，nasn，因此级数发散；当1q时，级数成为aaaa，显然ns随着n为奇数或为偶数而等于a或等于零，从而ns的极限不存在，这时级数也发散.综合上述结果，我们得到：如果等比级数的公比的绝对值1q，则级数收敛；如果1q，则级数发散.3注：几何级数是收敛级数中最著名的一个级数．阿贝尔曾经指出“除了几何级数之外，数学中不存在任何一种它的和已被严格确定的无穷级数”．几何级数在判断无穷级数的收敛性、求无穷级数的求和以及将一个函数展开为无穷级数等方面都有广泛而重要的应用.几何级数的增长速度令人震惊.有一个关于古波斯国王的传说，他对一种新近发明的象棋游戏留下深刻印象，以至于他要召见那个发明人而且以皇宫的财富相赠.当这个发明人——一个贫困但却十分精通数学的农民——被国王召见时，他只要求在棋盘的第一个方格里放一粒麦粒，第二个方格里放两粒麦粒，第三个方格里放四里麦粒，如此继续下去，直到整个棋盘都被覆盖上为止.国王被这种朴素的要求所震惊，他立即命令拿来一袋小麦，他的仆人们开始耐心地在棋盘上放置麦粒，令他们十分吃惊的是，他们很快就发现袋子里的麦粒甚至整个王国的麦粒也不足以完成这项任务，因为级数,2,2,2,2,1432的第64项是一个十分大的一个数：6329223372036854775808.如果我们设法把如此多的麦粒——假设每个麦粒直径仅一毫米——放在一条在直线上，这条线将长约两光年.线性运算性质的应用：例5求级数1)1(321nnnn的和.解由于111)1(321)1(321nnnnnnnnn对于级数121nn，部分和为211212121nns，从而1limnns，对于级数1)1(3nnn，部分和为)111(3nsn，从而3limnns，所以级数1)1(321nnnn收敛，它的和是4.例6设级数1nnu收敛,1nnv发散,证明:级数)(1nnnvu发散.证反证，假设级数)(1nnnvu收敛则由收敛级数的性质，级数111)(nnnnnnnvuvu收敛，矛盾。所以级数)(1nnnvu发散.4例7判别级数nn10121102121101212是否收敛.解级数112101211012110212110121nnnnnn级数121nn是等比级数，公比121q，收敛.级数111101101nnnn发散（见例9），由例6可得原级数发散.例8利用柯西审敛原理判定级数121nn的收敛性.解因为对任何自然数pnpnnpnpnnnnnpnpnnnnnpnnnuuupnnn1111112111111))(1(1)2)(1(1)1(1)(1)2(1)1(122221所以对于任意给定的正数，取自然数1N，则当Nn时，对任何自然数p，都有pnnnuuu21成立.由柯西审敛原理，级数121nn收敛.例9证明调和级数n131211是发散的.证反证法.假设级数收敛，设它的部分和为ns，且)(nssn，显然对级数的部分和)(2nssn.于是)(02nssssnn但另一方面)(212121212121112nnnnnnnssnnn项5故nnss2-/→0)(n与假设级数收敛矛盾，故原级数必定发散.注：当n越来越大时，调和级数的项变得越来越小，然而,慢慢地——非常漫漫地——它的和将增大并超过任何有限值.调和级数的这种特性使一代又一代的数学家困惑并为之着迷.它的发散性是由法国学者尼古拉.奥雷姆（1323-1382）在极限概念被完全理解之前约400年首次证明的.下面的数字将有助于我们更好地理解这个级数.这个级数的前一千项相加约为485.7；前一百万项相加约为357.14；前十亿项相加约为21；前一万亿项相加约为28等等.更有学者估计过，为了使调和级数的和等于100，必须把4310项加起来，如果我们试图在一个很长的纸带上写下这个级数，直到它的和超过100，即使每个项只占1毫米长的纸带，也必须使用4310毫米长的纸带，这大约为2510光年.但是宇宙的已知尺寸估计只有1210光年.调和级数的某些特性至今仍未得到解决.课堂练习1.判别级数1)122(nnnn的敛散性.2.判别级数121cos1nnn的敛散性.3.判断级数11)1()1(nnnn的敛散性.第二节正项级数的判别法一般情况下，利用定义和准则来判断级数的收敛性是很困难的，能否找到更简单有效的判别方法呢？我们先从最简单的一类级数找到突破口，那就是正项级数.本节主要内容1正项级数2比较判别法3比较判别法的极限形式4比值判别法5根值判别法6积分判别法讲解提纲：一、正项级数收敛的充要条件是：它的部分和数列}{ns有界.以此为基础推出一系列级6数收敛性的判别法：二、比较判别法；比较判别法的极限形式；推论（常用结论）比较判别法是判断正项级数收敛性的一个重要方法.对一给定的正项级数，如果要用比较判别法来判别其收敛性，则首先要通过观察，找到另一个已知级数与其进行比较，并应用定理2进行判断.只有知道一些重要级数的收敛性，并加以灵活应用，才能熟练掌握比较判别法.至今为止，我们熟悉的重要的已知级数包括等比级数、调和级数以及p级数等.要应用比较判别法来判别给定级数的收敛性，就必须给定级数的一般项与某一已知级数的一般项之间的不等式.但有时直接建立这样的不等式相当困难，为应用方便，我们给出比较判别法的极限形式.使用比较判别法或其极限形式，需要找到一个已知级数作比较，这多少有些困难.下面介绍的几个判别法，可以利用级数自身的特点，来判断级数的收敛性.三、比值判别法（达朗贝尔判别法）：适合1nu与nu有公因式且nnnuu1lim存在或等于无穷大的情形.四、根值判别法（柯西判别法）：适合nu中含有表达式的n次幂，且nnnulim或等于的情形.例题选讲：比较判别法及其的应用：例1讨论p—级数)0(131211pnppp的收敛性.解设1p。由于nnp11而调和级数11nn发散因此由比较判别法可知，当1p时，p—级数发散.设1p.当kxk1时，有ppxk11，所以),3,2(,11111kdxxdxkkkkpkkpp从而p—级数的部分和),3,2(,1111111111111111212npnpdxxdxxkspnpnkkkpnkpn这表明数列ns有界，因此p—级数收敛.综上所述，可知p—级数当1p时收敛，当1p时发散.例2证明级数1)1(1nnn是发散的.7证因为11)1(1nnn而级数113121111nnn是发散的.有比较判别法可知所给级数也是发散的.例3判别级数11sinnn的收敛性.解因为0111sinlimnnn而级数11nn发散，因此此级数发散.例4设nnnbca),,2,1(n且1nna及1nnb均收敛，证明级数1nnc收敛.解因为nnnnabcb0而级数1)(nnnab收敛所以级数1)(nnncb也收敛.因此级数111)(nnnnnnncbbc收敛.例5判定下列级数的敛散性:(1);11ln12nn(2).cos111nnn解（1）因为1111lnlim22nnn而级数121nn收敛，所以原级数收敛.8（2）因为412sin21lim11cos11lim22/322/3nnnnnnnn而p级数12/31nn，123p收敛，所以原级数收敛比值判别法的应用：例6判别级数1)!1(1nn的敛散性.解因为10!)!1(limlim1nnuunnnn所以，由比值判别法可知所给级数收敛.例7判别级数110!nnn的敛散性.解因为1101lim10!10)!1(limlim11nnnuunnnnnnn所以，由比值判别法可知所给级数发散.例8级数,11npn当1p时收敛,有人说,因为,111n故级数1111nnn收敛.你认为他的说法对吗?（错，因为111lim11nnnn，所以原级数发散.）例9判别级数.21211nnn的收敛性.解因为4112)12(1lim2nnnn而级数121nn收敛.9所以，原级数收敛.例10判别级数12!nnnnn的收敛性.解因为12112lim2!)1(2)!1(limlim111ennnnnuunnnnnnnnnn所以，由比值判别法可知，所给级数收敛.根值判别法的应用：例11判别级数1212nnnn的散敛性.解因为12112limlim2nnunnnnn所以由根值判别法知所给级数收敛.例12判别级数2111nnn的散敛性.