2.4.2求函数零点近似解的一种方法――二分法

普通高中课程标准[e-mail]良乡中学数学组任宝泉普通高中课程标准[e-mail]良乡中学数学组制作：任宝泉普通高中课程标准数学1(必修)第二章函数2020年6月13日书山有路勤为径，学海无崖苦作舟少小不学习，老来徒伤悲成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！天才在于勤奋，努力才能成功！2.4.2求函数零点近似解的一种方法——二分法勤劳的孩子展望未来,但懒惰的孩子享受现在!!!普通高中课程标准[e-mail]一、复习引入方程f(x)=0有实数根等价关系:函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点问题1:函数y=f(x)的零点与相应方程f(x)=0的实数根有怎样的关系?问题2:函数y=f(x)一定有零点吗?如果函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上连续不断、且f(a)·f(b)0，那么函数y=f(x)在区间[a,b]上必有零点。在怎样的条件下函数y=f(x)一定有零点?普通高中课程标准[e-mail]二、提出问题在解决实际问题时，人们经常需要寻求函数y=f(x)的零点（也就是方程f(x)=0的根）从上面的练习可以看到，对于一次函数或二次函数以及可以根据分解因式转化成一次函数和二次函数的，我们可以利用熟知的公式来解（求根公式）。对与一元高次的函数（三次及三次以上）是否有求根公式呢？。问题3:会求下列函数的零点吗？f(x)=2x-6；f(x)=2x2-3x+1，32()22fxxxxf(x)=lnx+2x-6普通高中课程标准[e-mail]二、提出问题在16世纪，人们找到了一元三次方程和一元四次方程的求根公式。但是，对于高于四次的方程，经过科学家的努力却一直没有成功。到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于四次的方程不存在求根公式。也就是说，不存在用四则运算及根号表示的一般公式解。那么，对于高次多项式函数我们如何寻找它的零点呢？普通高中课程标准[e-mail]三、概念形成概念1.函数存在零点的判断法则：函数在一个区间上的图像不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即则，这个函数在这个区间上至少有一个零点，即存在一点使得。()yfx()()0fafb0(,)xab0()0fxxyab1x2x0x普通高中课程标准[e-mail]如果函数图像通过零点时穿过x轴，则成这样的零点叫变号零点。xyab1x2x0x函数在一个区间上的图像不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即则，这个函数在这个区间上至少有一个零点，即存在一点使得。()yfx()()0fafb0(,)xab0()0fx三、概念形成概念1.函数存在零点的判断法则：变号零点普通高中课程标准[e-mail]如果函数图像通过零点时没有穿过x轴，则成这样的零点叫不变号零点。xyab1x2x0x函数在一个区间上的图像不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即则，这个函数在这个区间上至少有一个零点，即存在一点使得。()yfx()()0fafb0(,)xab0()0fx三、概念形成概念1.函数存在零点的判断法则：不变号零点普通高中课程标准[e-mail]三、概念形成根据函数存在零点的这一判断法则，下面我们介绍一种求函数的零点的近似值的一种计算方法：二分法为了理解二分法，我们先做一个游戏：猜一猜：小灵通的价格100~300之间人民币￥218普通高中课程标准[e-mail]三、概念形成问题4:类比上述思想方法,如何求函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3)内零点的近似值?区间中点的值中点函数近似值(2,3)2.5-0.084(2.5,3)2.750.512(2.5,2.75)2.6250.215(2.5,2.625)2.56250.066(误差小于0.2)(精确度0.2)思考:通过这种方法,是否可以得到任意精确度的近似值?区间长度10.50.250.125普通高中课程标准[e-mail]三、概念形成问题4:类比上述思想方法,如何求函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3)内零点的近似值?(精确度0.01)区间中点的值中点函数近似值区间长度(2,3)2.5-0.0841(2.5,3)2.750.5120.5(2.5,2.75)2.6250.2150.25(2.5,2.625)2.56250.0660.125(2.5,2.5625)2.53125-0.0090.0625(2.53125,2.5625)2.5468750.0290.03125(2.53125,2.546875)2.53906250.0100.015625(2.53125,2.5390625)2.535156250.0010.0078125这里|2.53125-2.5390625|0.01，取x=?2.53125普通高中课程标准[e-mail]三、概念形成概念2.用二分法求函数零点的一般步骤题目：已知函数定义在区间D内，求他在D上的一个零点的近似值，使它满足给定的精度。()yfx0xx例1：求函数的一个正实数零点（精确到0.1）32()22fxxxx第一步：确定初始区间第二步：取区间中点，计算中点函数值，若函数值为0则就是根。若不为0，判断中点函数值与左右端点函数值哪个异号。左边异号左有根，右边异号右有根。普通高中课程标准[e-mail]三、概念形成概念2.用二分法求函数零点的一般步骤题目：已知函数定义在区间D内，求他在D上的一个零点的近似值，使它满足给定的精度。()yfx0xx例1：求函数的一个正实数零点（精确到0.1）32()22fxxxx第三步：重复上述第二步操作，直至满足精度停止。普通高中课程标准[e-mail]三、概念形成对于区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。概念剖析:下列函数图象中，不能用二分法求函数零点的是概念3.二分法概念普通高中课程标准[e-mail]四、应用举例1、方程ex–x–2=0在实数范围内的解有个。2、设函数，若f(–4)=f(0)，f(–2)=–2，则关于x的方程f(x)=x的解的个数为（）2,0()2,0xbxcxfxx（A）1（B）2（C）3（D）43、若直线y=2a与函数y=|ax–1|（a0且a≠1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是。普通高中课程标准[e-mail]四、应用举例例1：利用计算器，求方程2x=4-x的近似解（精确到0.1）12xy404y=2xy=4-x1怎样找到它的解所在的区间呢？在同一坐标系内画函数y=2x与y=4-x的图象，如图：提问：能否不画图确定根所在的区间？得:方程有一个解x0∈(0,4)如果画得很准确，可得x0∈(1,2)普通高中课程标准[e-mail]四、应用举例例1：利用计算器，求方程2x=4-x的近似解（精确到0.1）解：设函数f(x)=2x+x-4则f(x)在R上是增函数∵f(0)=-30,f(2)=20∴f(x)在(0,2)内有惟一零点，∴方程2x+x-4=0在(0,2)内有惟一解x0。由f(1)=-10,f(2)=20得：x0∈(1,2)由f(1.5)=0.330,f(1)=-10得：x0∈(1,1.5)由f(1.25)=-0.370,f(1.5)0得：x0∈(1.25,1.5)由f(1.375)=-0.0310,f(1.5)0得：x0∈(1.375,1.5)由f(1.4375)=0.1460,f(1.375)0得：x0∈(1.375,1.4375)∵1.375与1.4375的近似值都是1.4,∴x0≈1.4普通高中课程标准[e-mail]五、归纳总结基本知识:1.二分法的定义;2.用二分法求解方程的近似解的步骤。课外探究:①利用二分法可以找出方程的所有解吗?②除了用二分法可求解方程的近似值外,还有其他方法吗（如三分法、十分法等）?基本方法：观察、分析、类比、归纳普通高中课程标准[e-mail]八、布置作业①教材第75页，习题2-4-A，第1，2，题；②预习教材第65～68页“2.3函数的应用（Ⅰ）”。