数学建模实验报告-数学规划模型

《数学建模B》课程实验报告实验名称：数学规划模型学生班级：学生姓名：班内序号：1数学规划模型一、实验目的（1）着重于数学建模的角度，介绍如何建立若干实际优化问题的模型（2）在用现成的数学软件求解后，对结果做一些分析.二、实验题目题目一：某公司用两种原油(A和B)混合加工成两种汽油(甲和乙).甲、乙两种汽油含原油A的最低比例分别为50%和60%，售价分别为4800元/t和5600元/t.该公司现有原油A和B的库存量分别为500t和1000t,还可以从市场上买到不超过1500t的原油A.原油A的市场价为:购买量不超过500t时的单价为10000元/t；购买量超过500t但不超过1000t时，超过500t的部分80O0元/t；购买量超过1000t时，超过1000t的部分6000元/t.该公司应如何安排原油的采购和加工?题目二：某电力公司经营两座发电站，发电站分别位于两个水库上位置如图水源B水源A已知发电站A可以将水库A的10000m³的水转换为400千度电能，发电站B只能将水库B的10000m³的水转换为200千度电能发电站A,B每个月的最大发电能力分别是60000千度,35000千度每个月最多有50000千度电能够以200元/千度的价格售出，多余的电能只能够以140元/千度的价格售出水库A,B的其他有关数据如下表(单位:410m³)水库A水库B发电站A发电站B2水库A水库B水库最大蓄水量20001500水源流入水量本月20040下月13015水库最小蓄水量1200800水库目前蓄水量1900850请你为该电力公司制定本月和下月的生产经营计划。（千度是非国际单位制单位，1千度=310kW·h）三、问题分析问题一：安排原油采购、加工的目标只能是利润最大，题目中给出的是两种汽油的售价和原油A的采购价，利润为销售汽油的收人与购买原油A的支出之差.这里的难点在于原油A的采购价与购买量的关系比较复杂，是分段函数关系，能否以及如何用线性规划、整数规划模型加以处理是关键所在.题目二：制定生产经营计划是为了获利达到最大。本题要解决的关键在于如何对水库水量的调度，同时，两座发电站又有各自不同的资源和效益。根据对两水库各项数据的分析，建立目标函数，即线形规划方程。深入分析本月和下月两水库供应两电站的水量、本月和下月两水库放走的水量、本月和下月结束时两水库的水量以及本月和下月高、低价售出的电量列出所有满足目标函数的约束条件。利用LINGON软件对其求解，可得最优解，此时电力公司收益最大。四、模型建立题目一：设原油A的购买量为x，根据题目所给数据，将采购支出)(xc表示为如下函数：1500)x(10006x30001000)x(5008x1000500)x(010x（1）3设原油A用于生产甲、乙两种汽油的数量分别为11x和12x，原油B用于生产甲、乙两种汽油的数量分别为21x和22x，则总收入为)x5.6(x)x4.8(x22211211。于是目标函数利润为c(x))x5.6(x)x4.8(xzmax12111211（2）约束条件为两种汽油用的原油A、B库存量的限制，原油A购买量的限制，以及两种汽油包含原油A的限制，如下：x500xx1211（3）1000xx2221（4）1500x（5）0.5xxx211111（6）0.6xxx221212（7）0x,x,x,x,x22211211（8）题目二：假设水源的流入是在每月月初开始就有的，水库中的水允许不发电就流出a1x：A水库本月发电用水量。（单位：万m³）a2x：A水库下月发电用水量。b1x：B水库本月发电用水量。b2x：B水库下月发电用水量。a1y：A水库本月直接放走的水量。a2y：A水库下月直接放走的水量。b1y：B水库本月直接放走的水量。b2y：B水库下月直接放走的水量。a1z：本月结束时A水库的水量。a2z：下月结束时A水库的水量。b1z：本月结束时B水库的水量。b2z：下月结束时B水库的水量。1u：本月以高价出售的电量。2u：下月以高价出售的电量。1v：本月以低价出售的电量。2v：下月以低价出售的电量。根据线性规划的基本模型，结合数学建模知识，我们可以得出目标函数为：)v140(v)u200(umax21214其中，约束条件为：（1）当月卖出的电量不能高于生产出的电量：22b2a211b1a1vu200x,400xvu200x400x（2）水库水量守恒：15,zyxzyx130,zzyx,yx40850zyx200,1900zyxb2a2a2b2b2b2a1a2a2a2a1a1b1b1b1a1a1a1（3）发电站发电能力的限制：35000,200x35000,200x60000,400x60000,400xb2b1a2a1（4）每个水库蓄水量限制：1500,z8001500,z8002000,z12002000,z1200b2b1a2a1（5）最高价出售电量的限制：50000,u50000,u21注意，只有当1u=50000时，才有1v0;只有当2u=50000时，才有2v0。即只有总电量超过50000度时，剩余的电量以140元的价格售出。五、模型求解题目一：解法1：一个自然的想法是将原油A的采购量x分解为三个量，即用1x，2x，3x分别表示以价格10千元/t、8千元/t、6千元/t采购的原油A的数量，总支出为c(x)=101x+82x+63x,且x=1x+2x+3x(9)5这时(10)改变为线性函数)6x+8x+(10x-)x+5.6(x+)x+4.8(x=zmax32122122111(10)应当注意到，知有以10千元/t的价格购买1x=500t时，才能以8千元/t的价格购买2x这个条件可以表示为0=x500)-(x21(11)同理，只有以8千元/t的价格购买2x=500t时，才能以6千元的价格购买3x，0=x500)-(x32(12)此外，0≤1x,2x,3x≤500(13)将该模型输入LINGO：model:max=4.8*x11+4.8*x21+5.6*x12+5.6*x22-10*x1-8*x2-6*x3;x11+x12x+500;x21+x221000;0.5*x11-0.5*x210;0.4*x12-0.6*x220;x=x1+x2+x3;(x1-500)*x2=0;(x2-500)*x3=0;x1500;x2500;x3500;end输出结果Localoptimalsolutionfound.Objectivevalue:4800.000Infeasibilities:0.5560952E-11Totalsolveriterations:246VariableValueReducedCostX11500.00000.000000X21500.00000.000000X120.0000000.2666667X220.0000000.000000X10.0000000.4000000X20.0000000.000000X30.0000000.000000X0.0000000.000000最优解是用库存的500t原油A、500t原油B生产1000t汽油甲，不购买新的原油A，利润为4800000元。但只得到局部最优解，全剧最优解如下Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:5000.001Objectivebound:5000.001Infeasibilities:0.1225483E-06Extendedsolversteps:12Totalsolveriterations:533VariableValueReducedCostX110.0000000.9000000X210.0000000.000000X121500.0000.000000X221000.0000.000000X1500.00000.000000X2499.99960.000000X30.3500690E-030.0000007X1000.0000.000000全局的最优解是，购买1000t原油A和库存的500t原油A和1000t原油B生产2500t汽油乙，利润为5000000元。解法2：引入0-1变量将（11）（12）转化为线性约束。令=0，=0，=0分别表示以10千元/t、8千元/t、6千元/t的价格采购原油A，则约束（11）（12）可以替换为112500yx500y（14）223500yx500y（15）33500yx（16）0y,y,y321或1（17）（3）~（10），（13）~（17）构成整数线性规划模型，将该模型输入LINGO软件如下：model:max=4.8*x11+4.8*x21+5.6*x12+5.6*x22-10*x1-8*x2-6*x3;x11+x12x+500;x21+x221000;0.5*x11-0.5*x210;0.4*x12-0.6*x220;x=x1+x2+x3;x1500*y1;x2500*y2;x3500*y3;x1500*y2;x2500*y3;@bin(y1);@bin(y2);@bin(y3);end1y2y3y8运行程序得到：Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:5000.000Objectivebound:5000.000Infeasibilities:0.2273737E-12Extendedsolversteps:3Totalsolveriterations:12VariableValueReducedCostX110.0000000.000000X210.0000000.000000X121500.0000.000000X221000.0000.000000X1500.00000.000000X2500.00000.000000X30.0000000.000000X1000.0000.000000Y11.0000000.000000Y21.000000200.0000Y30.000000-1400.000全局最优解是购买1000t原油A，与库存的500t原油A和1000t原油B一起，共生产2500t汽油乙，利润为5000000元。解法3：直接处理分段函数如图所示9在21bxb时2211bzbzx，1zz21，0z,z21，)c(bz)c(bzc(x)2211；在32bxb时3322bzbzx，1zz32，0z,z32，)c(bz)c(bzc(x)3322；在43bxb时4433bzbzx，1zz43，0z,z43，)c(bz)c(bzc(x)4433。对于变量ky（k=1,2,3），当x在第k个小区间时，=1，否则=0.这样z1，z2，z3，z4，，，应满足3432321211yz,yyz,yyz,yz（18）1,2,3,4)(k0z1,zzzzk4321（19）1或0y,y,y1,yyy321321（20）此时x和c(x)可以统一表示为432443322111500z1000z500zbzbzbzbzx（21）4324433221112000z9000z5000z)c(bz)c(bz)c(bz)c(bzc(x)（22）（2）~（8），（18）~（22）也可构成一个整体规划模型将其输入LINGO如下model:max=4.8*x11+4.8*x21+5.6*x12+5.6*x22-5000*z2-9000*z3-12000*z4;x11+x12x+500;x21+x221000;0.5*x11-0.5*x210;0.4*x12-0.6*x220;y1z1;y1+y2z2;kyky1y2y3y10y2+y3z3;y3z4;z1+z2+