2011高考全国2卷数学理科试题及答案详解

2011年全国卷2理科数学试题及答案解析2011年普通高等学校招生全国统一考试全国卷2理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。．．．．．．．．．．3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。一、选择题（1）复数1zi，z为z的共轭复数，则1zzz（A）2i（B）i（C）i（D）2i（2）函数2(0)yxx≥的反函数为（A）2()4xyxR（B）2(0)4xyx≥（C）24yx()xR（D）24(0)yxx≥（3）下面四个条件中，使ab＞成立的充分而不必要的条件是（A）1ab＞（B）1ab＞（C）22ab＞（D）33ab＞（4）设nS为等差数列na的前n项和，若11a，公差2d，224AnSS，则k（A）8（B）7（C）6（D）5（5）设函数()cos(0)fxx＞，将()yfx的图像向右平移3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于（A）13（B）3（C）6（D）9(6)已知直二面角α−ι−β，点A∈α，AC⊥ι，C为垂足，B∈β，BD⊥ι，D为垂[来源:Z§xx§k.Com]2011年全国卷2理科数学试题及答案解析足．若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于(A)23(B)33(C)63(D)1(7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A)4种(B)10种(C)18种(D)20种[来源:学科网](8)曲线y=2xe+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为(A)13(B)12(C)23(D)1(9)设()fx是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，()fx=2(1)xx，则5()2f=(A)-12(B)1 4(C)14(D)12(10)已知抛物线C：24yx的焦点为F，直线24yx与C交于A，B两点．则cosAFB=(A)45(B)35(C)35(D)45(11)已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为(A)7(B)9(C)11(D)13(12)设向量a，b，c满足a=b=1，ab=12，,acbc=060，则c的最大值等于(A)2(B)3(c)2(D)1第Ⅱ卷注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码卜的准考证号、姓名和科目。2第Ⅱ卷共2页，请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。3第Ⅱ卷共l0小题，共90分。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上(注意：在试．．卷上作答无效．．．．．．)2011年全国卷2理科数学试题及答案解析(13)(1-x)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为:.2y2(14)已知a∈(2，)，sinα=55，则tan2α=(15)已知F1、F2分别为双曲线C:29x-227y=1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2∠的平分线．则|AF2|=.(16)己知点E、F分别在正方体ABCD-A1B2C3D4的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB,CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于.三．解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(17)(本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知A—C=90°，a+c=2b，求C.(18)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．)新课标第一网根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3,设各车主购买保险相互独立(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；(Ⅱ)X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求X的期望。（19）如图，四棱锥SABCD中，19291()10peABCD,BCCD，侧面SAB为等边三角形，2,1ABBCCDSD.（Ⅰ）证明：SDSAB;[来源:学_科_网Z_X_X_K]（Ⅱ)求AB与平面SBC所成角的大小.（20）设数列na满足10a且1111.11nnaa（Ⅰ）求na的通项公式；（Ⅱ）设111,,1.nnnnknkabbSn记S证明：2011年全国卷2理科数学试题及答案解析[来源:学#科#网Z#X#X#K]（21）已知O为坐标原点，F为椭圆22:12yCx在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为-2的直线l与C交与A、B两点，点P满足0.OAOBOP(Ⅰ)证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.[来源:学科网]（22）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）（Ⅰ）设函数2()ln(1)2xfxxx，证明：当0x＞时，()0fx＞；（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p.证明：19291()10pe2011年普通高等学校招生全国统一考试·全国卷II(理科)全解全析（1）复数1zi，z为z的共轭复数，则1zzz（A）2i（B）i（C）i（D）2i【思路点拨】先求出的z共轭复数,然后利用复数的运算法则计算即可。【精讲精析】选B.1,1(1)(1)(1)1zizzziiii.（2）函数2(0)yxx≥的反函数为（A）2()4xyxR（B）2(0)4xyx≥（C）24yx()xR（D）24(0)yxx≥【思路点拨】先反解用y表示x,注意要求出y的取值范围，它是反函数的定义域。2011年全国卷2理科数学试题及答案解析【精讲精析】选B.在函数2(0)yxx≥中，0y且反解x得24yx，所以2(0)yxx≥的反函数为2(0)4xyx.（3）下面四个条件中，使ab＞成立的充分而不必要的条件是（A）1ab＞（B）1ab＞（C）22ab＞（D）33ab＞【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出ab，而由ab推不出选项的选项.【精讲精析】选A.即寻找命题P使P,abab推不出P，逐项验证可选A。（4）设nS为等差数列na的前n项和，若11a，公差2d，224kkSS，则k（A）8（B）7（C）6（D）5【思路点拨】思路一：直接利用前n项和公式建立关于k的方程解之即可。思路二：利用221kkkkSSaa直接利用通项公式即可求解，运算稍简。【精讲精析】选D.22112(21)2(21)2245.kkkkSSaaakdkk（5）设函数()cos(0)fxx＞，将()yfx的图像向右平移3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于（A）13（B）3（C）6（D）9【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将()yfx的图像向右平移3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3是此函数周期的整数倍。【精讲精析】选C.由题2()3kkZ,解得6k，令1k，即得min6.(6)已知直二面角l，点,AACl,C为垂足，,,BBDlD为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于(A)23(B)33(C)63(D)1【思路点拨】本题关键是找出或做出点D到平面ABC的距离DE，根据面面垂直的性质不2011年全国卷2理科数学试题及答案解析难证明AC平面，进而平面平面ABC,所以过D作DEBC于E，则DE就是要求的距离。【精讲精析】选C.如图，作DEBC于E，由l为直二面角，ACl得AC平面，进而ACDE，又,BCDEBCACC，于是DE平面ABC，故DE为D到平面ABC的距离。在RtBCD中，利用等面积法得12633BDDCDEBC.(7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A)4种(B)10种(C)18种(D)20种【思路点拨】本题要注意画册相同，集邮册相同，这是重复元素，不能简单按照排列知识来铸。所以要分类进行求解。【精讲精析】选B.分两类：取出的1本画册，3本集邮册，此时赠送方法有144C种；取出的2本画册，2本集邮册，此时赠送方法有246C种。总的赠送方法有10种。(8)曲线y=2xe+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为(A)13(B)12(C)23(D)1【思路点拨】利用导数求出点（0，2）切线方程然后分别求出与直线y=0与y=x的交点问题即可解决。【精讲精析】选A.202,|2xryey切线方程是：22yx,在直角坐标系中作出示意图，即得1211233S。(9)设()fx是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，()fx=2(1)xx，则5()2f=(A)-12(B)1 4(C)14(D)122011年全国卷2理科数学试题及答案解析【思路点拨】解本题的关键是把通过周期性和奇偶性把自变量52转化到区间[0,1]上进行求值。【精讲精析】选A.先利用周期性，再利用奇偶性得:5111()()()2222fff.(10)已知抛物线C：24yx的焦点为F，直线24yx与C交于A，B两点．则cosAFB=(A)45(B)35(C)35(D)45【思路点拨】方程联立求出A、B两点后转化为解三角形问题。【精讲精析】选D.联立2424yxyx，消y得2540xx，解得1,4xx.不妨设A在x轴上方，于是A，B的坐标分别为(4,4),(1,-2),可求35,5,2ABAFBF，利用余弦定理2224cos25AFBFABAFBAFBF.(11)已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为(A)7(B)9(C)11(D)13【思路点拨】做出如图所示的图示，问题即可解决。【精讲精析】选D.作示意图如，由圆M的面积为4，易得222,23MAOMOAMA，RtOMN中，30OMN。故cos303.MNOM.设圆M和圆N相交于CD，圆N的半径229413rMNMC圆N的面积为213Sr故选择D2011年全国卷2理科数学试题及答案解析(12)设向量,,abc满足1||||1,,,602ababacbc，则||c的最大值等于(A)2(B)3(c)2(D)1【思路点拨】本题按照题目要求构造出如右图所示的几何图形，然后分析观察不难得到当线段AC为直径时，||c最大.【精讲精析】选A.如图，构造,,,120,60,ABaADbACcBADBCD，所以A、B、C、D四点共圆，分析可知当线段AC为直径时，||c最大，最大值为2.(13)(1-x)20的二项展开式中，x的系数与