题型特殊四边形的动态探究题

初中数学资源网二、解答题重难点突破题型二特殊四边形的动态探究题针对演练1.如图，已知点C是直线AB外一个动点，点P是线段AB的中点，点D在线段CP上，DC＝DP，过点C作CE∥AB交BD延长线于点E，连接AE、AC、BC、PE.(1)求证：四边形PECB是平行四边形；(2)将下列命题填写完整，并使命题成立(图中不再添加其他的点和线)①随着点C的运动，当△ABC满足条件________时，四边形PCEA是矩形；②随着点C的运动，当△ABC满足条件________时，四边形PCEA是正方形；第1题图如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，AD＝6，动点F从D出发，以1个单位每秒的速度从D向A运动，同时点E以相同速度沿BC方向在BC的延长线上运动，设运动时间为t.连接DE、CF.(1)证明：△DFC≌△CED；(2)探究：①当t＝________s，四边形DFCE是菱形；②当t＝________s，四边形DFCE是矩形．第2题图如图，AB为⊙O的直径，点D、E位于AB两侧的半圆上，射线DC切⊙O于点D.已知点E是半圆弧AB上的动点，点F是射线DC上的动点，连接DE、AE，DE与AB交于点P，再连接FP、FB，且∠AED＝45°.(1)求证：CD∥AB；(2)填空：①当∠DAE＝________时，四边形ADFP是菱形；②当∠DAE＝________时，四边形BFDP是正方形．第3题图如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE.(1)求证：CE＝AD；(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．第4题图如图，正方形ABCD的边长为4cm，两动点P、Q分别同时从D、A出发，以1cm/s的速度各自沿着DA、AB边向A、B运动(不与端点D，A，B重合)．试解答下列各题：(1)当P出发后多少s时，△PDO为等腰三角形；(2)①当P、Q出发后_________s时，四边形PDOQ为平行四边形；②当P、Q出发后_______s时，四边形APOQ为正方形．第5题图如图①，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm.点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s.以AQ、PQ为边作平行四边形AQPD，连接DQ，交AB于点E.设运动的时间为t(单位：f)(0≤t≤4)．解答下列问题：(1)用含有t的代数式表示AE＝________．(2)当t为何值时，平行四边形AQPD为矩形．(3)如图②，当t为何值时，平行四边形AQPD为菱形．第6题图如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝5.对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F.(1)证明：△AOF≌△COE；(2)①当旋转角为________度时，四边形ABEF是平行四边形；②当AC绕点O顺时针旋转________度时，四边形BEDF是菱形．第7题图如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A、D两点出发，以1m/s速度沿AF、DC向终点F、C运动．连接PB、PE、QB、QE，设运动时间为t(s)．(1)求证：四边形PEQB为平行四边形；(2)填空：①当t＝________s时，四边形PEQB为菱形；②当t＝________s时，四边形PEQB为矩形．第8题图如图，在▱ABCD中，对角线BD＝8cm，AC＝4cm，点E从点B出发沿BD方向以1cm/s的速度向点D运动，同时点F从点D出发沿DB方向以同样的速度向点B运动，设点E、F运动的时间为t(s)，其中0t8.(1)求证：CE＝AF；(2)填空：①以点A、C、E、F为顶点的四边形一定是________形；②当t的值为________时，以点A、C、E、F为顶点的四边形为矩形．第9题图初中数学资源网【答案】针对演练1.解：(1)证明：∵CE∥AB，∴∠CED＝∠DBP，∠ECD＝∠BPC，又∵DC＝DP，∴△CDE≌△PDB(AAS)，∴CE＝PB，又∵CE∥AB，即CE∥PB.∴四边形PECB是平行四边形；(2)①CA＝CB；②CA⊥CB且CA＝CB.【解法提示】①∵四边形PCEA是矩形，EP＝AC，又∵四边形PECB为平行四边形，∴EP＝BC，∴AC＝BC.∴当△ABC满足条件CA＝CB时，四边形PCEA是矩形．②若CA⊥CB，由PE∥BC得PE⊥AC，∴矩形PCEA为正方形．2.解：(1)证明：∵在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠FDC＝∠ECD.又∵DF＝t＝CE，DC＝CD，∴△DFC≌△CED(SAS)；(2)①4；②2；【解法提示】①由题知FD∥CE.又∵FD＝CE＝t，∴四边形DFCE是平行四边形，∴当FD＝FC时，四边形DFCE是菱形．又∵∠B＝∠FDC＝60°.∴△FDC为等边三角形，∴FD＝CD＝AB＝4，∴t＝4s时，四边形DFCE是菱形；②由(2)①知：当CF⊥BC时，四边形DFCE是矩形，∴DF＝CD·cos60°＝4×12＝2.∴t＝2s时，四边形DFCE是矩形．3.【思路分析】(1)连接OD，根据切线的性质可得OD⊥CD，再由圆周角定理可得∠AOD＝90°，即可得证；(2)①根据菱形的性质和等腰三角形的性质求得∠ADP，在△ADE中利用三角形的内角和定理求得∠DAE的度数；②判断四边形BFDP是正方形时，当DE是⊙O的直径即可求得∠DAE.[来源:学科网]解：(1)证明：如解图，连接OD，∵射线DC切⊙O于点D，∴OD⊥CD，即∠ODF＝90°，∵∠AED＝45°，∴∠AOD＝2∠AED＝90°，即∠ODF＝∠AOD，∴CD∥AB；(2)①67.5°；②90°.【解法提示】①∵四边形ADFP是菱形，∴AD＝AP，∵在Rt△AOD中，OA＝OD，∴∠DAO＝45°，∴∠ADP＝∠APD＝180°－45°2＝67.5°，∴在△ADE中，∠DAE＝180°－∠ADE－∠AED＝180°－67.5°－45°＝67.5°；②当BF⊥DF，DE⊥AB时四边形BFDP是正方形，由题意可知，DE⊥AB时DE经过⊙O的圆心，∴DE是⊙O的直径，∴∠DAE＝90°.4.解：(1)证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD；(2)四边形BECD是菱形，理由：∵D为AB中点，∴AD＝BD，第3题解图∵CE＝AD，∴BD＝CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝BD，∴四边形BECD是菱形；(3)当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由：∵四边形BECD为正方形，∴∠CDB＝90°，在Rt△ABC中，D为AB中点，∴AD＝BD＝CD，在Rt△CDB中，∵∠CDB＝90°，BD＝CD，∴∠CBD＝180°－90°2＝45°，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CBA＝45°，∴∠A＝45°.即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．5.解：(1)由题意可知，要使△PDO为等腰三角形，当DP＝OP时，∵四边形ABCD为正方形，∴AO＝DO，∠ADO＝45°，AO⊥DO.∵DP＝OP，∴∠PDO＝∠POD＝45°，即∠DPO＝90°，∴OP⊥AD，∴DP＝12AD＝2cm，即21＝2s，∴当P出发2s时，△PDO为等腰三角形；当DP＝DO时，在△BCD中，BD＝BC2＋DC2＝42＋42＝42，∴DO＝12BD＝22，即DP＝22，∴221＝22s，即当P出发22s后，△PDO为等腰三角形；(2)①2；②2.【解法提示】①∵四边形PDOQ为平行四边形，∴PQ＝DO，即PQ＝12DB，∴点P，Q为AD，AB的中点，∴DP＝12AD＝2cm，∴21＝2s．∴当P，Q出发2s后四边形PDOQ为平行四边形．②∵四边形APOQ为正方形，∴AP＝OP＝OQ＝QA，∴OP⊥AD，OQ⊥AB，∴点P，Q为AD，AB的中点，∴AQ＝12AB＝2cm，∴当点P，Q出发2s后四边形APOQ为正方形．6.解：(1)5－t.【解法提示】∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，∴由勾股定理得：AB＝10cm，[来源:学_科_网Z_X_X_K]∵点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s，∴BP＝2tcm，∴AP＝AB－BP＝10－2t，∵四边形AQPD为平行四边形，∴AE＝12AP＝5－t；(2)当▱AQPD是矩形时，PQ⊥AC，∴PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∴QAAP＝ACAB，即2t10－2t＝810，解之t＝209，∴当t＝209时，▱AQPD是矩形．(3)当▱AQPD是菱形时，DQ⊥AP，则cos∠BAC＝AEAQ＝ACAB，即5－t2t＝45，解之t＝2513，∴当t＝2513时，▱AQPD是菱形．7.解：(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，OA＝OC，∠FAO＝∠ECO，在△AOF和△COE中，∠FAO＝∠ECOOA＝OC∠AOF＝∠COE，∴△AOF≌△COE(ASA)；(2)①90(如解图①)；②45(如解图②)．【解法提示】①∵AB⊥AC，∴∠BAO＝90°，又∠AOF＝90°，∴∠BAO＝∠AOF，∴AB∥EF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，即AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形．②∵AB⊥AC，[来源:学科网]∴在△ABC中，∠BAC＝90°，第7题解图①第7题解图②∴BC2＝AB2＋AC2，∵AB＝1，BC＝5，∴AC＝BC2－AB2＝（5）2－12＝2，∵四边形ABCD是平行四边形，[来源:Z+xx+k.Com]∴OA＝12AC＝12×2＝1，∵在△AOB中，AB＝AO＝1，∠BAO＝90°，∴∠2＝45°，∵四边形BEDF是菱形，∴EF⊥BD，∴∠BOF＝90°，∴∠1＝∠BOF－∠2＝90°－45°＝45°，即旋转角为45°.8.【思路分析】(1)要证四边形PEQB是平行四边形，通过观察图形可知需利用全等三角形的性质求得两组对边相等进行求证；(2)①先判断点P，Q在什么位置时四边形PEQB为菱形，再利用全等三角形的性质，结合(1)中的结论进行求证即可；②判断点P，Q在什么位置时四边形PEQB为矩形，再根据圆内接多边形的性质和(1)中的结论进行求证即可．解：(1)证明：∵六边形ABCDEF是圆内接正六边形，∴∠BAP＝∠EDQ，AB＝DE，∵点P、Q同时以相同的速度分别从A、D两点出发，∴AP＝DQ，∴△APB≌△DQE(SAS)，∴BP＝EQ.同理可证△PFE≌△QCB，则PE＝QB，∴四边形PEQB是平行四边形；第8题解图(2)①2；②0或4.【解法提示】①当点P，Q分别运动到中点位置时四边形PEQB为菱形．①∵∠A＝∠F，AB＝FE，AP＝FP，∴△APB≌△FPE，∴PB＝PE，由(1)知四边形PEQB是平行四边形，∴t＝2时四边形PEQB为菱形；②当t＝0或4时四边形PEQB为矩形，t＝0，即点P，Q分别与点A，D重合，∵∠C＝∠CDE＝120°，BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB＝30°，∠BDE＝120°－30°＝90°，∵根据第(1)问得到四边形PEQB是平行四边形，∴当t＝0时四边形PEQB为矩形，