三角函数九类经典题型

1三角函数九种经典类型题类型一同角三角函数关系式的应用1、(1)已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝________.(2)已知sinαcosα＝18，且5π4＜α＜3π2，则cosα－sinα的值为________．答案(1)45(2)32解析(1)由于tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θsin2θ＋cos2θ＝sin2θcos2θ＋sinθcosθcos2θ－2sin2θcos2θ＋1＝tan2θ＋tanθ－2tan2θ＋1＝22＋2－222＋1＝45.(2)∵5π4＜α＜3π2，∴cosα＜0，sinα＜0且cosαsinα，∴cosα－sinα＞0.又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×18＝34，∴cosα－sinα＝32.思维升华(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sinαcosα＝tanα可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.2、已知sinα－cosα＝2，α∈(0，π)，则tanα＝________.答案－1解析由sinα－cosα＝2，sin2α＋cos2α＝1，消去sinα得：2cos2α＋22cosα＋1＝0，即(2cosα＋1)2＝0，2∴cosα＝－22.又α∈(0，π)，∴α＝3π4，∴tanα＝tan3π4＝－1.类型二诱导公式的应用1、已知sinα＋π12＝13，则cosα＋7π12的值为________．解析(1)cosα＋7π12＝cosα＋π12＋π2＝－sinα＋π12＝－13.思维升华(1)诱导公式用法的一般思路①化大角为小角．②角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．(2)常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．②常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．2、已知sinπ3－α＝12，则cosπ6＋α＝________.解析∵π3－α＋π6＋α＝π2，∴cosπ6＋α＝cosπ2－π3－α＝sinπ3－α＝12.变式：已知sinπ3－α＝12，则)26cos(＝________.类型三三角函数的单调性1、(1)函数f(x)＝tan2x－π3的单调递增区间是________________．3(2)已知ω＞0，函数f(x)＝sinωx＋π4在π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________．答案(1)kπ2－π12，kπ2＋5π12(k∈Z)(2)12，54解析(1)由kπ－π2＜2x－π3＜kπ＋π2(k∈Z)得，kπ2－π12＜x＜kπ2＋5π12(k∈Z)，所以函数f(x)＝tan2x－π3的单调递增区间为kπ2－π12，kπ2＋5π12(k∈Z)．(2)由π2＜x＜π，ω＞0得，ωπ2＋π4＜ωx＋π4＜ωπ＋π4，又y＝sinx在π2，3π2上递减，所以ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.思维升华(1)已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出整体函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．2、(1)函数f(x)＝sin－2x＋π3的单调减区间为________．(2)已知ω＞0，函数f(x)＝cosωx＋π4在π2，π上单调递增，则ω的取值范围是______________．答案(1)kπ－π12，kπ＋512π，k∈Z(2)32，74解析(1)由已知函数为y＝－sin2x－π3，欲求函数的单调减区间，只需求y＝sin2x－π3的单调增区间．由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z.4故所给函数的单调减区间为kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)．(2)函数y＝cosx的单调递增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，则ωπ2＋π4≥－π＋2kπ，ωπ＋π4≤2kπ，k∈Z，解得4k－52≤ω≤2k－14，k∈Z，又由4k－52－2k－14≤0，k∈Z且2k－14＞0，k∈Z，得k＝1，所以ω∈32，74.类型四三角函数的周期性、对称性1、(1)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期是π，若将f(x)的图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则关于函数f(x)的图象，下列叙述正确的有________(填正确的序号)．①关于直线x＝π12对称；②关于直线x＝5π12对称；③关于点π12，0对称；④关于点5π12，0对称．(2)已知函数y＝2sin2x＋π3的图象关于点P(x0,0)对称，若x0∈－π2，0，则x0＝________.解析(1)由题意知2πω＝π，∴ω＝2；又由f(x)的图象向右平移π3个单位后得到y＝sin[2x－π3＋φ]＝sin2x＋φ－23π，此时关于原点对称，∴－2π3＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝2π3＋kπ，k∈Z，又|φ|＜π2，∴2π3＋kπ＜π2，∴k＝－1，φ＝－π3，∴f(x)＝sin2x－π3.当x＝π12时，2x－π3＝－π6，∴①、③错误；当x＝5π12时，2x－π3＝π2，∴②正确，④错误．(2)由题意可知2x0＋π3＝kπ，k∈Z，故x0＝kπ2－π6，k∈Z，又x0∈－π2，0，∴k＝0时，x0＝－π6.2、若函数y＝cosωx＋π6(ω∈N*)图象的一个对称中心是π6，0，则ω的最小值为________．5答案2解析由题意知πω6＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)⇒ω＝6k＋2(k∈Z)，又ω∈N*，∴ωmin＝2.思维升华(1)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．(2)求三角函数周期的方法：①利用周期函数的定义．②利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.3、(1)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，对于任意x都有fπ6＋x＝fπ6－x，则fπ6的值为________．(2)已知函数f(x)＝sinx＋acosx的图象关于直线x＝5π3对称，则实数a的值为________．答案(1)2或－2(2)－33解析(1)∵fπ6＋x＝fπ6－x，∴x＝π6是函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的一条对称轴．∴fπ6＝±2.(2)由x＝5π3是f(x)图象的对称轴，可得f(0)＝f10π3，解得a＝－33.类型五函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换1、(1)把函数y＝sin(x＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为(填正确的序号)．①x＝－π2；②x＝－π4；③x＝π8；④x＝π4.(2)设函数f(x)＝cosωx(ω0)，将y＝f(x)的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于．解析(1)将y＝sin(x＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y＝sin(2x＋π6)；再将图象向右平移π3个单位长度，得到函数y＝sin[2(x－π3)＋π6]＝sin(2x－π2)，故x＝－π2是其图象的一条对称轴方程．(2)由题意可知，nT＝π3(n∈N*)，6∴n·2πω＝π3(n∈N*)，∴ω＝6n(n∈N*)，∴当n＝1时，ω取得最小值6.类型六由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式1、(1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π2)的图象上一个最高点的坐标为(2，2)，由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与x轴交于点(6,0)，则此函数的解析式为．(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为．解析(1)由题意得A＝2，T4＝6－2，所以T＝16，ω＝2πT＝π8.又sinπ8×2＋φ＝1，所以π4＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)．又因为|φ|π2，所以φ＝π4.(2)由题图可知A＝2，T4＝7π12－π3＝π4，所以T＝π，故ω＝2，因此f(x)＝2sin(2x＋φ)，又712π，－2为最小值点，∴2×712π＋φ＝2kπ＋3π2，k∈Z，∴φ＝2kπ＋π3，k∈Z，又|φ|＜π，∴φ＝π3.故f(x)＝2sin(2x＋π3)．2、函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图所示，则φ＝.答案－π3解析∵T2＝1112π－512π，∴T＝π.又T＝2πω(ω＞0)，∴2πω＝π，∴ω＝2.由五点作图法可知当x＝512π时，ωx＋φ＝π2，即2×512π＋φ＝π2，∴φ＝－π3.类型七：三角函数图象性质的应用1、已知关于x的方程2sin2x－3sin2x＋m－1＝0在π2，π上有两个不同的实数根，则m的取值范围是．7答案(－2，－1)解析方程2sin2x－3sin2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋3sin2x＝cos2x＋3sin2x＝2sin2x＋π6，x∈π2，π.设2x＋π6＝t，则t∈76π，136π，∴题目条件可转化为m2＝sint，t∈76π，136π，有两个不同的实数根．∴y＝m2和y＝sint，t∈76π，136π的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，m2的范围为(－1，－12)，故m的取值范围是(－2，－1)．类型八角的变换问题1、(1)设α、β都是锐角，且cosα＝55，sin(α＋β)＝35，则cosβ＝.(2)已知cos(α－π6)＋sinα＝453，则sin(α＋7π6)的值是．答案(1)2525(2)－45解析(1)依题意得sinα＝1－cos2α＝255，cos(α＋β)＝±1－sin2α＋β＝±45.又α，β均为锐角，所以0αα＋βπ，cosαcos(α＋β)．因为4555－45，所以cos(α＋β)＝－45.于是cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－45×55＋35×255＝2525.(2)∵cos(α－π6)＋sinα＝453，∴32cosα＋32sinα＝453，3(12cosα＋32sinα)＝453，3sin(π6＋α)＝453，∴sin(π6＋α)＝45，∴sin(α＋7π6)＝－sin(π6＋α)＝－45.2、若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cosπ4＋α＝13，cosπ4