2015年高考新课标I卷理科数学试题答案解析(word精校版)

2015年新课标I理科数学第1页，共4页2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I）理科数学答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号123456789101112答案ADCAABADCCBD【部分试题解析】2．【解析】原式1sin20cos10cos20sin10sin302，故选D．4．【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为22330.60.40.6=0.648C，故选A．5．【解析】由题知13,0F，23,0F且220012xy，所以12003,MFMFxy222000003,3310xyxyy，解得03333y，故选A．6．【解析】设圆锥底面半径为r，则12384r，得163r。所以米堆的体积为21116320354339，故堆放的米约为3201.62229，故选B．12．【解析】设()(21)xgxex，yaxa，由题知存在唯一的整数0x，使得0()gx在直线yaxa的下方．因为()(21)xgxex，所以当12x时，()0gx，当12x时，()0gx；当12x时，12max()2gxe．当0x时，(0)1g，(1)30ge，直线yaxa恒过点1,0且斜率为a，故(0)1ag，且1(1)3geaa，解得312ae，故选D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。13.114.2232524xy15.316.62,62三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由2243nnnaaS，可知2111243nnnaaS．可得2211124nnnnnaaaaa，即2211112nnnnnnnnaaaaaaaa由于0na，可得12nnaa．又2111243aaa，解得11a（舍去），13a所以na是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为21nan．……6分（Ⅱ）由21nan可知，111111(21)(23)22123nnnbaannnn．2015年新课标I理科数学第2页，共4页设数列nb的前n项和为nT，则1211111112355721233(23)nnnTbbbnnn．……12分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）连接BD，设BDACG，连接EG，FG，EF．在菱形ABCD中，不妨设1GB，由120ABC，可得3AGGC．由BEABCD平面，ABBC，可知AEEC．又AEEC，所以3EG，且EGAC．在RtEBG中，可得2BE，故22DF．在RtFDG中，可得62FG．在直角梯形BDFE中，由2BD，2BE，22DF，可得322EF．从而222EGFGEF，所以EGFG，又ACFGG，可得EGAFC平面．因为EGAEC平面，所以AECAFC平面平面．……6分（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC方向为x轴，y轴正方向，GB为单位长，建立空间直角坐标系Gxyz．由（Ⅰ）可得0,3,0A，1,0,2E，21,0,2F，0,3,0C．所以1,3,2AE，21,3,2CF．……10分故3cos,3AECFAECFAECF，所以直线AE与直线CF所成角余弦值为33．……12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由散点图可以判断，ycdx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．……2分（Ⅱ）令wx，先建立y关于w的线性回归方程．由于81821108.8681.6iiiiiwwyydww，563686.8100.6cydw，所以y关于w的线性回归方程为100.668yw，因此y关于w的线性回归方程为100.668yx．……6分（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当49x时，年销售量y的预报值100.66849576.6y，2015年新课标I理科数学第3页，共4页年利润z的预报值0.2576.64966.32z．……9分（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值0.2100.66813.620.12zxxxx．所以当13.66.82x，即46.24x时，z取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．……12分20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题设可得2,Maa，2,Naa，或2,Maa，2,Naa．又2xy，故24xy在2xa处的导数值为a，C在点2,aa处的切线方程为2yaaxa，即0axya．故所求切线方程为0axya和0axya．……5分（Ⅱ）存在符合题意的点．证明如下：设0,Pb为符合题意的点，11,Mxy，22,Nxy，直线PM，PN的斜率分别为1k，2k．将ykxa代入C的方程得2440xkxa．故124xxk，124xxa．从而1212121212122kxxabxxkabybybkkxxxxa．当ba时，有120kk，则直线PM的倾角与直线PN的倾角互补，故OPMOPN，所以点0,Pa符合题意．……12分21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设曲线()yfx与x轴相切于点0,0x，则0()0fx，0()0fx，代入可解得012x，34a．因此，当34a时，x轴为曲线()yfx的切线．……5分（Ⅱ）当1,x时，()ln0gxx，从而()min(),()()0hxfxgxgx，故()hx在1,无零点．当1x时，若54a，则5(1)04fa，(1)min(1),(1)(1)0hfgg，故1x是()hx的零点；若54a，则5(1)04fa．(1)min(1),(1)(1)0hfgf，故1x不是()hx的零点．当0,1x时，()ln0gxx，所以只需考虑()fx在0,1的零点个数．（ⅰ）若3a或0a，则2()3fxxa在0,1无零点，故()fx在0,1单调．而1(0)4f，5(1)4fa，所以当3a时，()fx在0,1有一个零点；当0a时，()fx在0,1无零点．（ⅱ）若30a，则()fx在0,3a单调递减，在,13a单调递增，故在0,1中，当2015年新课标I理科数学第4页，共4页3ax时，()fx取得最小值，最小值为213334aaaf．①若03af，即304a，()fx在0,1无零点．②若03af，即34a，()fx在0,1有唯一零点．③03af，即334a，由于1(0)4f，5(1)4fa，所以当5344a时，()fx在0,1有两个零点；当534a时，()fx在0,1有一个零点．综上，当34a或54a时，()hx有一个零点；当34a或54a时，()hx有两个零点；当34a或54a时，()hx有三个零点．……12分22．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）连接AE，由已知得AEBC，ACAB．在RtAEC中由已知得DEDC，故DECDCE．连接OE，则OEBOBE．又90ACBABC，所以90DECOEB，故90OED，DE是O的切线．……5分（Ⅱ）设1CE，AEx，由已知得23AB，212BEx．由射影定理，2AECEBE，所以2212xx，解得3x，所以60ACB．……10分23．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）因为cosx，siny，所以1C的极坐标方程为cos2，2C的极坐标方程为22cos4sin40．……5分（Ⅱ）将4代入22cos4sin40，得23240，解得122，22．故122，即2MN．由2C半径为1，所以2CMN的面积为12．……10分24．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）当1a时，()1fx化为12110xx．当1x，不等式化为40x，无解；当11x时，不等式化为320x，解得213x；当1x时，不等式化为20x，解得12x．所以()1fx解集为2,23x．……5分（Ⅱ）由题设可得12,1()312,112,xaxfxxaxaxaxa，所以函数()fx的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为21,03aA，21,0Ba，,1Caa，ABC的面积为2213a．由题设得22163a，故2a．所以a的取值范围为2,．……10分