非线性电路-Lorenz方程的Matlab求解

题目：Lorenz方程的Matlab求解姓名：Webster-jie学号：311416xxxx班级：硕4019日期：2014年12月Lorenz方程的Matlab求解硕4019班xxx311416xxxx1963年美国麻省理工学院的气象学家E.Lorenz通过对对流实验的研究，得到了第一个表现奇怪吸引子的连续动力系统，该系统描述了从水桶底部加热时，桶内液体的运动情况，加热时，底部的液体越来越热，并开始逐渐上升，产生对流，当提供足够的热量并保持不变时，对流便会以不规则的和湍流的方式运动。通过对该动力学模型进行数值计算发现了一个由非线性微分方程组描述的著名的Lorenz方程，这就是混沌现象的第一个奇怪吸引子Lorenz吸引子。由于在天气、对流、斜波等现象及水轮机、发电机、激光机等真实物理系统中发现，Lorenz方程可以作为许多现实混沌运动的精确模型，因此对Lorenz方程的特性的研究受到许多学者的关注。一、Lorenz方程xybzdtdzyxzudtdyxyadtdx)(二、源程序clearh=0.005;%欧拉法，步长取0.005a=10;b=8/3;u=100;x=20;y=20;z=50;%起始点选为（20,20,50）Y=[];fori=1:8000x1=x+h*a*(y-x);y1=y+h*(u*x-x*z-y);z1=z+h*(x*y-b*z);x=x1;y=y1;z=z1;Y(i,:)=[xyz];endplot3(Y(:,1),Y(:,2),Y(:,3));figure(2)%x与t（i=8000）的关系plot(Y(:,1))figure(3)%y与t的关系plot(Y(:,2))figure(4)%z与t的关系plot(Y(:,3))三、程序运行结果及分析：010002000300040005000600070008000-50050ix010002000300040005000600070008000-100-50050100iy010002000300040005000600070008000050100150200iz-20-15-10-505101520-30-20-1001020300102030405060xyz图1（1）当0u1时，平衡点是稳定的，例如u=0.8时，奇点O（0,0,0）处三个特征值为（-10.8151，-0.1849，-2.6667），三个特征值均为负值，因此，全部轨道在t时趋于零。如图2所示：-15-10-505101520-30-20-10010200204060xu=0.8yz图2（2）当1u时，例如当u=1.5时，系统有三个平衡点，在奇点O（0,0,0）处三个特征值分别为（-11.4372,0.4372，-2.6667），一个特征值是正值，另外两个是负值，故平衡点O（0,0,0）是鞍点，因此平衡点O（0,0,0）不稳定；另外两个平衡点为P+，P-。-15-10-505101520-30-20-10010200204060xu=1.5,i=500yz-15-10-505101520-30-20-10010200204060xu=1.5,i=5000yz图3分析图3，随着i从5005000时（即随着时间变化），轨道从初始点（20,20,50）趋于平衡点零，之后离开平衡点。当74.241u时，平衡点O（0,0,0）是不稳定的，奇点O（0,0,0）处三个特征值有一个为正，两个为负，即为（-21.86,10.86，-2.6667），平衡点O（0,0,0）是鞍点，从而奇点O的稳定流形是一曲面，不稳定流形为一曲线。当926.131u时，不稳定流形最终螺旋地趋于与之同一侧的平衡点P+或P-，由图可以看出，曲线最终趋于与初始点（20,20,50）同一侧的P+点。当u从1逐渐增大时，这种螺旋圈逐步增大。当926.13u时，不稳定流形刚好无限趋于原点O，即出现同宿轨。如图4所示：-10-505101520-30-20-10010200204060xu=13.962yz-505101520-25-20-15-10-505101520510152025303540455055xyz图4当926.13u时，不稳定流形将绕到另一侧，最终趋于与之异侧的平衡点P+或P-，由图5可看出，不稳定流形绕到了初始点（20,20,50）不同侧的P-，如下图所示。-15-10-505101520-30-20-10010200204060xu=10yz-10-505101520-30-20-10010200204060xu=16yz图5可见，926.13u是一个同宿分岔点。当74.24u时，奇点P+和P-变成不稳定的，也就是说u在24.74之后系统进入“混沌区”，对混沌区内的参量u值有时定常态是混沌解，即吸引子是奇怪吸引的，有时也可能出现稳定的周期解，如图6，这时轨线P+转几圈后被甩到P-附近转几圈，又回到P+附近，而且刚好头尾接上，成为闭曲线。-20-15-10-505101520-30-20-1001020300204060xu=30yzP+P-图6当u很大时，取100u时，轨线绕P+、P-各半圈，形成一个空间闭轨道，在x-z或y-z平面上投影类似横“8”字形。如图7所示：-50-40-30-20-1001020304050-80-60-40-2002040608020406080100120140160180yu=100xz图7四、结论Lorenz方程是非线性微分方程，没有解析解，只有数值解。通过对本课程的学习，了解了非线性系统Lorenz方程在u取不同值情况下呈现出来的貌似无序但又遵循一定规律的复杂动力学行为。随着人类对混沌理论的不断探索和认识，在航空航天、自动控制、经济预测等学科和各种工程技术领域，混沌理论将得到广泛的运用。参考文献：刘崇新.非线性电路理论及应用.西安:西安交通大学出版社，2007