几何综合题(与中点有关)

OlEDFCBAABOMCD第2题图2第2题图1DCMOBA几何综合题——与中点相关一、相关知识点：1．三角形中位线：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半。2．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。3．等腰三角形底边上的中线，底边上的高，顶角平分线三线合一。4．常用思路：倍长中线，构造全等；取中点，连中线；倍长一边，构造中位线。二、应用举例：1．已知，△ABC中，AB=AC，O是BC的中点，过点B引直线l，AD⊥l于D，CE⊥l于E，且OD与CE交于点F。（1）当∠BAC=90°时，求证：∠CFD=45°；（2）在上述条件下，求证：BD=CF。2．如图，△OAB、△OCD为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°。（1）如图1，点C在OA边上，点D在OB边上，连接AD、BC，M为线段AD的中点，求证：OM⊥BC；（2）如图2，在（1）的基础上，将△OCD绕点O逆时针旋转（为锐角），M为线段AD的中点。①线段OM与线段BC是否存在某种确定的数量关系？写出并证明你的结论。②OM⊥BC是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。CABFEO第3题图2第3题图1OEFBAC第4题图3EBCDAADCBFPE第4题图2第4题图1EPFBCDA3．如图，等腰三角形ACB，O为斜边AB的中点，点E、F分别在AC、BC上，且∠EOF=45°。（1）如图，点E、F在边AC、BC上时，问CE、EF、BF存在怎样的数量关系？（2）如图，点E在AC上，点F在BC的延长线上时，上述结论是否仍成立，请给予证明。4．如图，四边形ABCD为正方形，△BEF为等腰直角三角形（∠BFE=90°，点B、E、F按逆时针顺序），P为DE的中点，连接PC、PF。（1）如图1，E点在边BC上，则线段PC、PF有何数量关系和位置关系？请写出你的结论。（2）如图2，E点在对角线BD上，则线段PC、PF有何数量关系和位置关系？写出你的结论并证明。（3）如图3，E点在直线BC的下方，其它条件不变，完成图3，则线段PC、PF有何数量关系和位置关系？请写出你的结论。第5题图2MACBNEFDP第5题图1CFEDMPNBA第6题图1PNMDECBANPMDECBA第6题图2第6题图3ABCEDMPN第6题图4ABC5．（1）如图1，四边形ABNC和四边形CDEF都为正方形，且B、C、D在一条直线上，M、P分别为BC、AD的中点，则MP与BE之间有何数量关系？请证明你的结论。（2）将图1中的正方形ABNC绕C点旋转180°，如图2，其余条件都不变，则（1）中的结论是否仍成立？请证明你的结论。6．已知，△ABC中，AB=AC，点D在BC上，E在AB上，且BD=DE，点P、M、N分别为AD、BE、BC的中点。（1）如图1，若∠BAC=90°，则∠PMN=；（2）如图2，若∠BAC=90°，则∠PMN=；（3）如图3，若∠BAC=，则∠PMN=；（4）将图1中的△BDE绕点B旋转180°，在图4中，作出旋转后的图形，探究（3）中结论是否还成立，并证明你的结论。