第三讲-个体的风险态度及其度量

金融经济学之三个体的风险态度及其度量山东科技大学经济与管理学院张建刚2本讲教学目的和要求1.了解和掌握如何界定不确定条件下不同经济行为主体风险态度的类型；2.掌握三种不同风险态度的经济行为主体效用函数的性质；3.掌握确定性等价和风险溢价的含义及其计算方法；4.从定义和性质等各方面区分绝对风险厌恶度量和相对风险厌恶度量；5.掌握具有线性风险容忍系数的几个效用函数的形式及其性质；6.了解不同随机占优的假设及其充分必要条件。3一、风险态度1.问题的提出现实观察：经济行为主体对待风险的态度是存在差异的。热衷冒险的人会在等待不确定性结果中获得刺激而兴奋不已；大多数的行为主体则认为风险是一种折磨，尽可能地回避风险；而另一些人对风险可能采取一种无所谓的态度。如何通过效用函数描述不同经济主体对待风险的态度？4通常可以从两个方面来刻画：（1）观察经济行为主体面对公平博彩时的行为选择，即是愿意确定性地接受一个公平博彩的期望价值还是宁愿接受这个博彩本身及其不确定性的结果。（2）经济行为主体愿意付出多少价值来避免蕴含在这个博彩中的风险。或者说，让经济行为主体参与这个博彩行为需要多少风险溢价补偿。5基本假设在讨论风险态度之前，我们先要将一个基本的假设：在不确定性经济中，投资者都尽可能最大化自己的期望效用。1()[()]()NiiiUxEuxpux6投掷硬币的游戏如果一个简单的投掷硬币的赌局，硬币的正反面不是完全对称的，投掷结果正面朝上的概率为p，反面朝上的概率就是1-p。如果正面朝上有正的收益，反面朝上有负的收益。而如果有，也就是说，预期收益（平均收益）为0，则这个赌局称为公平博彩。updown(1)0updownpp72.公平博彩（FairGame）公平博彩是指不改变个体当前期望收益的赌局，如一个博彩的随机收益为，其期望收益为，我们就称其为公平博彩。当然，既然是博彩，通常隐含地假设其收益的方差大于零，即其收益不会是确定值零。或者公平博彩是指一个博彩结果的预期收益只应当和入局费相等的博彩。()0E8我们将满足下式的博彩，称为一个公平博彩：12(:,)pxx12(1)0,01pxpxp93.风险态度的描述公平博彩不改变个体原来的期望收益，但它提供了个体增加或减少原来收入的机会。风险厌恶者：如果经济主体拒绝接受公平博彩，这说明该个体在确定性收益和博彩之间更偏好确定性收益，我们称该主体为风险厌恶者。风险偏好者：如果一个经济主体在任何时候都愿意接受公平博彩，则称该主体为风险偏好者。10定义：u是经济主体的VNM效用函数，W为个体的初始禀赋，如果对于任何的随机变量，有()0E()0Var()[()]uWEuW11则称个体是（严格）风险厌恶（riskaversion）；如果上述不等号方向相反，则称个体是风险偏好（riskloving）；如果两边相等，则称个体是风险中性（neutral）。12对于一个具有效用函数为U和初始禀赋为W的经济主体，如果他不参加博彩，则其效用为U（W）。如果他愿意参加博彩，则他有p的概率消费，1-p的概率获得，因此，他的期望效用为根据我们对风险厌恶者的定义，对于一个风险厌恶的经济主体而言，我们有：1Wx2Wx12()(1)()puWxpuWx12()()(1)()uWpuWxpuWx13由于所以，上述不等式可改写为：即：12()(1)()WpWxpWx1212(()(1)())()(1)()upWxpWxpuWxpuWx1212((1))()(1)()upxpxpuxpux14这表明，风险厌恶的经济主体偏好未来收益分布的期望值，而不是未来收益分布本身。即对于风险厌恶的经济主体而言，确定性收益（数学期望值）的效用大于效用的期望值。基于这一性质，我们认为，风险厌恶者的效用函数为凹函数。15U(x)xABC风险厌恶者的效用函数16同样地，我们可以得到风险偏好者和风险中性者的效用函数的特征。对于风险偏好者而言，我们有：且其效用函数为凸函数。1212((1))()(1)()upxpxpuxpux17x风险偏好者的效用函数BACU(x)18对于风险中性者而言，我们有其效用函数为线性效用函数。1212((1))()(1)()upxpxpuxpuxxU(x)194.效用函数的凸凹性的局部性质经济行为主体效用函数的凸凹性实际上是一种局部性质。即一个经济主体可以在某些情况下是风险厌恶者，在另一种情况下是风险偏好者。弗里德曼-萨维奇（1948）解释了这种现象。他们认为，效用函数是几个不同的部分组成。在人们财富较少时，部分投资者是风险厌恶的；随着财富的增加，投资者对风险有些漠不关心；而在较高财富水平阶段，投资者则显示出风险偏好。20KLNV(c)cV021二、风险厌恶的度量1.确定性等价与风险溢价确定性等价（certaintyequivalence）是指经济行为主体对于某一博彩行为的支付意愿。即与某一博彩行为的期望效用所对应的数学期望值（财富价值）。风险溢价（riskpremium）是指风险厌恶者为避免承担风险而愿意放弃的投资收益。或让一个风险厌恶的投资者参与一项博彩所必需获得的风险补偿。22即如果个体为回避一项公平博彩而愿意放弃的收益为ρ，则我们有：这里，为公平博彩的随机收益（即报酬的微小增量），W为初始禀赋，ρ被称之为马科维茨风险溢价。其值越大表明经济主体风险厌恶的程度越高。而W-ρ为确定性等价收益。(())()EuWuW23泰勒级数泰勒定理若函数f(x)及其导数f‘,f’‘,…,f(n)在[c,d]区间均为连续函数，a[c,d]，且对所有t(c,d)导数f(n+1)(t)存在，对任意x[c,d])()()()()()(!)(2!2)(!1)()(xRaxaxaxafxfnnnafafafn1)!1(|||)(|nnMnaxxR242.风险厌恶系数对于风险很小的公平博彩行为，也即预期收益为0且预期收益的方差很小的博彩行为，如果效用函数是二次连续可微的，我们可对上述等式的两边在W做泰勒级数展开。这里，Re为高阶余项，由于是风险很小的公平博彩，所以，Re可省略。由此，我们可以得到21[()'()()Re]()'()Re2EuWuWuWuWuW25由风险溢价的定义可得：上式的右边由两个部分构成：是体现个体偏好的因素，而Var(ε)则是公平博彩随机收益的方差，体现不确定性风险。将随具体博彩的ε因素除去，留1()()()()'()2uWuWVaruWuW1()()2'()uWVaruW()/'()uWuW26下仅反映个体主观因素的部分，我们可以得到一个比风险溢价更为一般的风险厌恶测度指标：经济学家普拉特（Pratt,1964）和阿罗（Arrow,1970）分别证明了在一定的假设条件下，反映经济主体的效用函数特征的可以用来度量经济主体的风险厌恶程度。()()'()AuWRWuW()'()uWuW27因此，我们将称为经济主体的阿罗-普拉特绝对风险厌恶系数（Arrow-Prattabsoluteriskaversion）对于小的风险来说，绝对风险厌恶是投资者风险厌恶倾向的一种度量。投资者的绝对风险厌恶系数越大，所要求的风险补偿也就越大；反之亦然。绝对风险厌恶系数不仅依赖于效用函数，它也依赖于财富水平W。()ARW28在金融理论中，我们时常需要相对测度量，如证券投资者关心的一般不是以多大的概率获得多少绝对收益，而是以多大概率获得百分之几的收益。相应地，我们可以推导出个体的相对风险测度。事实上，要得到相对意义上的风险溢价，只需要将绝对风险厌恶系数的两边除以个体的初始禀赋即可：29Var（ε/W）是公平博彩相对收益的方差，另一部分称为个体的阿罗-普拉特相对风险厌恶系数（Arrow-prattrelativeaversion）。1()()2'()uWWVarWuWW()()'()RuWWRWuW30同样地，我们定义阿罗-普拉特绝对风险厌恶系数的倒数为个体的风险容忍系数（risktolerance），即T（W）越大表示个体能够容忍的风险越大，反之则反。1'()()()()AuWTWRWuW31三、风险厌恶度量的性质绝对风险厌恶系数主要考察在初始财富相同的条件下，具有不同风险厌恶程度的经济主体的风险行为特点。而相对风险厌恶系数，则主要考察经济行为主体随个人财富或消费收益的变化，对风险资产投资行为的变化。321.相同财富水平下的经济主体风险厌恶的度量对于具有相同财富水平的经济主体，我们可以用三种不同的方法来比较两者之间的风险厌恶程度：（1）绝对风险厌恶度量对于任意给定的初始财富水平W，如果下式成立，则表明经济主体i比经济主体j更加厌恶风险：ijAARR33（2）风险溢价度量对于任意给定的初始财富水平W，为避免相同的风险，如果经济主体i比经济主体j需要更多的风险溢价补偿，则经济主体i比经济主体j更厌恶风险：（3）效用函数的曲率从几何上看，绝对风险厌恶系数代表了效用函数的曲率（弯曲程度），如果经济主体i较经济主体更加厌恶风险，()()ijWW34则表明，经济主体i有比经济行为主体j更加凹的效用函数。更确切地讲，经济行为主体i的效用函数是经济行为主体j的效用函数的一个凹变换，即存在一个递增的、严格凹的函数G(·)，使得对于任意的W都成立。()iuW()juW()(())ijuWGuW35（4）普拉特定理假设是两个二次可微、严格单调递增的效用函数，则以下三种表述是等价的：（1）对所有的W，有；（2）存在一个严格单调递增和严格凹的二阶可微函数G(·)，使得；（3）任何公平博彩ε对经济主体i的风险溢价较经济主体j的风险溢价高，即ijAARR()()ijuWuW和()(())ijuWGuW()()ijWW362.风险厌恶与财富水平在经济主体的财富水平发生变化时，仅仅区别投资者的风险态度是不够的，还需要考察经济行为主体随个人初始财富水平的变化而对风险资产投资数量的变化。即考察投资者是将风险资产看成是正常品还是劣等品。37（1）定义如果经济主体的绝对风险厌恶系数是严格递减的函数，即，则这类经济行为主体是递减绝对风险厌恶的；类似地，如果，则称这类经济主体为递增绝对风险厌恶的。如果则称这类经济行为主体是常数绝对风险厌恶的。()0,AdRWWdW()AR()0,AdRWWdW()0,AdRWWdW38（2）阿罗-普拉特定理对于递减绝对风险厌恶的经济主体，随着初始财富的增加，其对风险资产的投资逐渐增加，即他视风险资产为正常品；对于递增绝对风险厌恶的经济主体，随着初始财富的增加，他对风险资产的投资减少，即他视风险资产为劣等品；对于常数绝对风险厌恶的经济行为主体，他对风险资产的需求与其初始财富的变化无关。39（3）相对风险厌恶的性质定理对于递增相对风险厌恶者，风险资产需求的财富弹性小于1（即随财富的增加，投资于风险资产相对于财富的比例下降），对于不变相对风险厌恶者，风险资产需求的弹性等于1，对于递减相对风险厌恶者，风险资产需求的财富弹性大于1（即随财富的增加，投资于风险资产相对于财富的比例上升））。财富弹性：随着财富的增加，投资于风险资产的比例相对于财富的增加而减少（不变，增加）。40究竟现实中的投资者属于哪种风险厌恶类型？普遍接受的看法是，大多数人具有递减绝对风险厌恶系数和不变相对厌恶系数，这反映了大多数投资者的投资行为。但也有人认为具有递减绝对风险厌恶系数，递减相对风险厌恶系数也许更能反映大多数人投资者的行为.41四、几种常用的效用函数下面讨论一些金融学中经常用到的效用函数。需要说明的是，在实际中每个人的效用函数肯定不会采取如此标准的数学形式，但它们在理论上很有用，尤其是可以用来刻画上述风险厌恶的性质。风险中性情况负指数效用函数二次效用函数幂效用函数对数效用函数双曲线风险厌恶模型424.1风