正弦定理余弦定理应用举例

1.2正余弦定理的应用举例1、正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin（其中：R为△ABC的外接圆半径）3、正弦定理的变形：CRcBRbARasin2,sin2,sin2RcCRbBRaA2sin,2sin,2sincbaCBA::sin:sin:sin2、三角形面积公式：CabBcaAbcSABCsin21sin21sin212sinsinsinabcRABC复习回顾CabbacBaccabAbccbacos2cos2cos2222222222变形abcbaCcabacBbcacbA2cos2cos2cos222222222余弦定理：在中，以下的三角关系式，在解答有关三角形问题时，经常用到，要记熟并灵活地加以运用：ABC;CBACBACBAcos)cos(,sin)sin(2sin2cos,2cos2sinCBACBA1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量:①距离问题、②高度问题、③角度问题、④计算面积问题、⑤航海问题、⑥物理问题等.2.实际问题中的常用角（1）仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线叫仰角,目标视线在水平视线叫俯角（如图①）.上方下方(2)方位角指从方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）.正北（3）坡度：坡面与水平面所成的角的度数.题型一与距离有关的问题要测量对岸A、B两点之间的距离，选取相距km的C、D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,求A、B之间的距离.分析题意，作出草图，综合运用正、余弦定理求解.【例1】3思维启迪题型分类深度剖析解如图所示在△ACD中，∠ACD=120°，∠CAD=∠ADC=30°，∴AC=CD=km.在△BCD中，∠BCD=45°，∠BDC=75°，∠CBD=60°.在△ABC中，由余弦定理，得3sin7562.sin602BC2226262(3)()23cos752232335,5(km).5km.ABABAB、之间的距离为3求距离问题要注意：（1）选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.（2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.探究提高(3)阅读课本第11页和第12页的例1,例2的距离测量方法.变式1（2009·海南,宁夏理,17）为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量，A、B、M、N在同一个铅垂平面内（如示意图）.飞机能够测量的数据有俯角和A、B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤.解方案一：①需要测量的数据有：A点到M、N点的俯角α1、β1；B点到M、N点的俯角α2、β2；A、B的距离d(如图所示).②第一步：计算AM.由正弦定理第二步：计算AN.由正弦定理第三步：计算MN.由余弦定理212sin;sin()dAM221sin;sin()dAN22112cos()MNAMANAMAN方案二：①需要测量的数据有：A点到M、N点的俯角α1、β1；B点到M、N点的俯角α2、β2;A、B的距离d（如图所示）.②第一步：计算BM.由正弦定理第二步：计算BN.由正弦定理第三步：计算MN.由余弦定理112sin;sin()dBM121sin;sin()dBN22222cos().MNBMBNBMBN[例2].在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°,则塔高为（）解析作出示意图如图，由已知：在Rt△OAC中，OA=200，∠OAC=30°，则OC=OA·tan∠OAC=200tan30°在Rt△ABD中，AD=，∠BAD=30°，则BD=AD·tan∠BAD=400400200200A.mB.3mC.3mD.m333320033200320033200400200.33BCCDBDA题型二与高度有关的问题解斜三角形应用题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知与所求；（2）依题意画出示意图；（3）分析与问题有关的三角形；（4）运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形,逐步求解问题的答案；（5）注意方程思想的运用；（6）要综合运用立体几何知识与平面几何知识.探究提高变式2如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD=α，∠BDC=β，CD=x，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.解在△BCD中，∠CBD=παβ,sinsinsinsinsinsin()tansinRt,tan.sin()BCCDBDCCBDxCDBDCBCCBDxABCABBCACB由正弦定理得所以在中[例3].在海岸A处,发现北偏东45°方向,距离Anmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向,距离A2nmile的C处的缉私船奉命以10nmile/h的速度追截走私船.此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？分析如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在△ABC中求出BC，再在△BCD中求∠BCD.313题型三与角度有关的问题则有CD=10t，BD=10t.在△ABC中，∵AB=-1，AC=2，∠BAC=120°,∴由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=（-1）2+22-2×（-1）×2×cos120°=6,∴BC=，即∠CBD=90°+30°=120°，在△BCD中，由正弦定理，得∴∠BCD=30°.即缉私船北偏东60°方向能最快追上走私船.3336sin10sin1201sin,2103BDCBDtBCDCDt3解:设缉私船用th在D处追上走私船，2sin1202sin4526ABCABC由正弦定理，[例4]如图所示，已知半圆的直径AB=2，点C在AB的延长线上，BC=1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值.题型四正、余弦定理在平面几何中的综合应用解设∠POB=θ，四边形面积为y，则在△POC中，由余弦定理得PC2=OP2+OC2-2OP·OCcosθ=54cosθ.max3112sin(54cos)24532sin().34535,,2.3264532.4OPCPCDySSyOPDC当即时所以四边形面积的最大值为1.合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念建立三角函数模型.2.把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个平面上利用三角函数求值.3.合理运用换元法、代入法解决实际问题.思想方法感悟提高