高中数学一轮复习课件：均值不等式的应用

考纲要求1.了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．热点提示1.基本不等式是高考热点之一，主要考查基本不等式的应用(如考查大小判断、求最值、求取值范围等)和不等式的证明(与函数、数列、三角等知识综合在一起的不等式证明等)．2．不等式的应用通常以选择或填空题形式出现，难度为中低档.•(1)基本不等式成立的条件：.•(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号．a≥0，b≥0a＝b•2．几个重要的不等式•(1)a2＋b2≥(a，b∈R)．2ab3．算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为a＋b2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：．两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数•4．利用基本不等式求最值问题•已知x0，y0，则•(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当时，x＋y有最值是.(简记：积定和最小)•(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当时，xy有最值是.(简记：和定积最大)x＝y小x＝y大1．设a0，b0，下列不等式中不成立的是()A.ba＋ab≥2B．a2＋b2≥2abC.b2a＋a2b≥a＋bD.1a＋1b≥2＋2a＋b解析：由ba0，且ab0，得ba＋ab≥2ba·ab＝2.所以A成立，B显然成立，C可变形为a3＋b3≥a2b＋ab2⇔(a2－b2)(a－b)≥0⇔(a＋b)(a－b)2≥0，所以C成立．答案：D2．已知a0，b0，1a＋3b＝1，则a＋2b的最小值为()A．7＋26B．23C．7＋23D．14解析：据题意知a＋2b＝(a＋2b)(1a＋3b)＝7＋2ba＋3ab≥7＋22ba·3ab＝7＋26(当且仅当2ba＝3ab，即2b2＝3a2时取等号)．答案：A3．x＋3y－2＝0，则3x＋27y＋1的最小值为()A．7B．339C．1＋22D．5解析：∵x＋3y－2＝0，∴x＋3y＝2.又3x＋27y＋1＝3x＋33y＋1≥23x·33y＋1＝23x＋3y＋1＝232＋1＝7.当且仅当3x＝33y，即x＝3y＝1，x＝1，y＝13时取等号．答案：A4．(2008·江苏)x，y，z∈R＋，x－2y＋3z＝0，y2xz的最小值是________．解析：由x－2y＋3z＝0，得y＝x＋3z2，将其代入y2xz，得x2＋9z2＋6xz4xz≥6xz＋6xz4xz＝3，当且仅当x＝3z时取“＝”．答案：35．已知x0，y0，z0.求证：(yx＋zx)(xy＋zy)(xz＋yz)≥8.证明：∵x0，y0，z0，∴yx＋zx≥2yzx0，xy＋zy≥2xzy0.xz＋yz≥2xyz0，∴(yx＋zx)(xy＋zy)(xz＋yz)≥8yz·xz·xyxyz＝8.当且仅当x＝y＝z时等号成立．【例1】设a、b是正实数，以下不等式：①ab2aba＋b；②a|a－b|－b；③a2＋b24ab－3b2；④ab＋2ab2恒成立的序号为()A．①③B．①④C．②③D．②④解析：∵a＋b≥2ab，∴ab≥2aba＋b，∴①不恒成立．∵a、b是正实数，∴a＋b|a－b|，即a|a－b|－b，∴②恒成立．∵a2＋4b2≥4ab，∴a2＋b2≥4ab－3b2，∴③不恒成立．∵ab＋2ab≥2ab·2ab＝222，∴④恒成立．故选D.答案：D变式迁移1设a0，b0，则以下不等式中不恒．．成立．．的是()A．(a＋b)(1a＋1b)≥4B．a3＋b3≥2ab2C．a2＋b2＋2≥2a＋2bD.|a－b|≥a－b解法一：(a＋b)(1a＋1b)＝2＋ba＋ab≥2＋2ba·ab＝4，∴A项正确．∵a＋ba－b⇒(a＋b)|a－b|≥(a－b)|a－b|⇒|a－b|≥a－b，知D项正确．a2＋b2＋2≥2×(a＋b2)2＋2＝a＋b22＋2≥22×a＋b22＝2(a＋b)，故C项正确，可知B项错误．解法二：取a＝13，b＝12，则a3＋b32ab2.故选B项．答案：B【例2】已知a、b、c∈R＋且a＋b＋c＝1，求证：(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8.证明：∵a、b、c∈R＋且a＋b＋c＝1，∴(1a－1)(1b－1)(1c－1)＝1－a1－b1－cabc＝b＋ca＋ca＋babc≥2bc·2ac·2ababc＝8.当且仅当a＝b＝c＝13时取等号．•利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，综合法是指从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.变式迁移2已知a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.求证：1a＋1b＋1c≥9.证明：1a＋1b＋1c＝a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋(ba＋ab)＋(ca＋ac)＋(cb＋bc)≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c＝13时取等号．【例3】解下列问题：(1)已知a0，b0，且4a＋b＝1，求ab的最大值；(2)已知x2，求x＋4x－2的最小值；(3)已知x0，y0，且x＋y＝1，求4x＋9y的最小值．(1)解法一：∵a0，b0,4a＋b＝1，∴1＝4a＋b≥24ab＝4ab，当且仅当4a＝b＝12，即a＝18，b＝12时，等号成立．∴ab≤14，∴ab≤116.所以ab的最大值为116.解法二：∵a0，b0,4a＋b＝1，∴ab＝144a·b≤14(4a＋b2)2＝116，当且仅当4a＝b＝12，即a＝18，b＝12时，等号成立．所以ab的最大值为116.(2)∵x2，∴x－20，∴x＋4x－2＝x－2＋4x－2＋2≥2x－2·4x－2＋2＝6，当且仅当x－2＝4x－2，即x＝4时，等号成立．所以x＋4x－2的最小值为6.(3)∵x0，y0，x＋y＝1，∴4x＋9y＝(x＋y)(4x＋9y)＝13＋4yx＋9xy≥13＋24yx·9xy＝25，当且仅当4yx＝9xy时等号成立，由x＋y＝1，4yx＝9xy，得x＝25，y＝35，∴当x＝25，y＝35时取等号．所以4x＋9y的最小值为25.•(1)求最值时，要注意“一正，二定，三相等”，一定要明确什么时候等号成立．•(2)学好基本不等式，灵活应用是关键，添常数、配系数，“1”的代换别忘了，一正、二定、三相等，格式规范要切记，千变万化不等式，透过现象看本质．在本例(1)中解法二采用了配系数，(2)中采用了添常数，(3)中利用了“1”的代换．如果(3)中若x＋y＝2，则如何用“1”的代换？显然x＋y2＝1，故4x＋9y＝x＋y2·(4x＋9y).变式迁移3(1)设0x2，求函数y＝3x8－3x的最大值；(2)已知x0，y0，且x＋y＝1，求8x＋2y的最小值．解：(1)∵0x2，∴03x6,8－3x20，∴y＝3x8－3x≤3x＋8－3x2＝82＝4，当且仅当3x＝8－3x，即x＝43时，取等号．∴当x＝43，y＝3x8－3x的最大值是4.(2)∵x0，y0，且x＋y＝1，∴8x＋2y＝(8x＋2y)(x＋y)＝10＋8yx＋2xy≥10＋28yx·2xy＝18.当且仅当8yx＝2xy，即x＝2y时等号成立，∴当x＝23，y＝13时，8x＋2y有最小值18.•【例4】某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200公斤，每公斤饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每公斤每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．假设养殖厂每次均在用完饲料的当天购买．•(1)求该养殖厂每多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小；•(2)若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时其价格可享受八五折优惠(即原价的85%)．问该养殖厂是否考虑利用此优惠条件，请说明理由．•解：(1)设该养殖厂每x(x∈N*)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y1.•∵饲料的保管与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，∴x天饲料的保管与其他费用共是•6x＋6(x－1)＋…＋6＝3x2＋3x(元)，从而有y1＝1x(3x2＋3x＋300)＋200×1.8＝300x＋3x＋363≥423.当且仅当300x＝3x，即x＝10时，y1有最小值．即每10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小．(2)若该养殖厂利用此优惠条件，则至少每25天购买一次饲料，设该养殖厂利用此优惠条件，每x天(x≥25)购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y2，则y2＝1x(3x2＋3x＋300)＋200×1.8×0.85＝300x＋3x＋309(x≥25)．∵y2′＝－300x2＋3.•∴当x≥25时，y2′0，即函数y2在[25，＋∞)上是增函数．∴当x＝25时**2取得最小值为396，而396423.•∴该养殖厂应接受此优惠条件．•近几年高考中，多次出现应用基本不等式求最值的应用题，基本不等式通常是作为求最值的工具在解题过程中出现的．应用基本不等式解决实际问题的步骤是：①仔细阅读题目，透彻理解题意；②分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他的变量，把要求最值的变量设为函数；③应用基本不等式求出函数的最值；④还原实际问题，作出解答.•变式迁移4西北西康羊皮手套公司准备投入适当的广告费，对生产的羊皮手套进行促销．在1年内，据测算年销售量S(万双)与广告费x(万元)之间的函数关系为S＝3－(x0)，已知羊皮手套的固定投入为3万元，每生产1万双羊皮手套仍需再投入16万元．(年销售收入＝年生产成本的150%＋年广告费的50%)•(1)试将羊皮手套的年利润L(万元)表示为年广告费x(万元)的函数；•(2)当年广告费投入为多少万元时，此公司的年利润最大，最大利润为多少？(年利润＝年销售收入－年广告费)解：(1)由题意知，羊皮手套的年成本为(16S＋3)万元，年销售收入为(16S＋3)×150%＋x·50%，年利润L＝(16S＋3)×150%＋x·50%－(16S＋3)－x，即L＝12(16S＋3－x)，得L＝－x2＋51x－162x(x0)．(2)由L＝－x2＋51x－162x＝512－(x2＋8x)≤512－2x2·8x＝21.5.当且仅当x2＝8x，即x＝4时，L有最大值21.5，因此，当年广告费投入为4万元时，此公司的年利润最大，最大利润为21.5万元．•1．利用基本不等式求最值需注意的问题•(1)各数(或式)均为正；•(2)和或积其中之一为定值；•(3)等号能否成立，•即“一正二定三相等”，这三个条件缺一不可．2．基本不等式的几种变形公式对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种常见的变形形式及公式的逆运用等．如：ab≤(a＋b2)2≤a2＋b22(a，b∈R)．2aba＋b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22(a0，b0)．•注意：要特别注意不等式成立的条件及等号成立的条件．•3．创设应用基本不等式的条件•(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值．•(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．