抽象函数问题处理中的“数列的影子”

未给出具体表达式的函数称为抽象函数.刻画抽象函数本质属性的特征量为其对应法则.如何创造使用对应法则已成为求解问题的关键.由于抽象函数和数列之间的特殊关系及数列的工具性，常常类比数列的研究方法，寻求处理抽象函数的方法.本文就抽象函数处理中的“数列影子”探求如下.1类比归纳猜测数列通项和分式类求极限的方法.例1已知x的函数fn(x)(n=1,2,3,…).定义如下：f1(x)=2,fn+1(x)=xfn(x)+1.试问：用)()(lim1xfxfnnn来定义函数f(x)这样的函数存在吗？若存在，求出f(x);若不存在说明理由.简析：本题以分段的抽象函数出现，注意其递推关系和定义，可找到处理“相邻项满足一阶线性递推关系求通项的影子”.可“归纳猜测解析式用数学归纳法证明.分类求和及极限”.易知，f2(x)=xf1(x)+1=2x+1,f3(x)=xf2(x)+1=2x2+x+1,f4(x)=xf3(x)+1=…=2x3+x2+x+1,推测知fn(x)=2xn-1+xn-2+…+x2+x+1.用数学归纳法证明.⑴当n=1时，显然成立；⑵假设n=k时，命题成立.即，fk(x)=2xk-1+xk-2+…+x2+x+1.当n=k+1时,由题fk+1(x)=xfk(x)+1=x(2xk-1+xk-2+…+x2+x+1)+1=2xk+xk-1+…+x2+x+1.这就是说，n=k+1时猜测也成立.故推测成立.如何求fn(x)=2xn-1+xn-2+…+x2+x+1？用等比数列求和公式分两类.x=1时，;112limlim1nnxfxfnnnn1212lim112112limlim111111nnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxfxfx时，为用重要结论“10limqqnn”需分两类：;1lim11xfxfxnnn时，.1111)()(.;12211212limlim121121xxxxxfxfxxxxxxxxxxfxfxnnnnnn或存在且为综上所述，时，若2整体处理，类比“反序求和”的方法.例3函数f(x)对任意x1,x2∈R,当x1+x2=1时,恒有f(x1)+f(x2)=1,且f(0)=0,若an=f(0)+f(1/n)+f(2/n)+…+f(n-1/n),求an.简析：依据对应法则和所求值的结构特征，如何创造用对应法则？整体把握，类比等差数列前n项和公式推导方法“反序求和”的方法解决.由an=0+f(1)+f(1/n)+f(2/n)+…+f(n-1/n)an=f(n-1/n)+f(n-2/n)+…+f(1/n)+0，相加用对应法则有2an=〔f(1/n)+f(n-1/n)〕+〔f(2/n)+f(n-2/n)〕+…+〔f(n-1/n)+f(1/n)〕=n-1,故an=(n-1)/2.3整体把握，类比“错位相减法”求和的方法.例4已知f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,且a1,a2,a3,…,an组成一个数列，n为自然数，且有f(1)=n2,,试证明0f(1/3)1.简析：整体把握f(1/3),类比“等差和等比数列数列对应项的积构成的数列的和，用错位相减法求和”的方法.从确定｛an｝为等差数列入手探求解题思路.由f(1)=Sn,则an=Sn-Sn-1(n≥2),a1=S1,易得an=2n-1.用错位相减法求和解决.f(1/3)=1·(1/3)+3·(1/9)+…+(2n-3)(1/3n-1)+(2n-1)(1/3n).1/3f(1/3)=1·(1/9)+3·(1/27)+…+(2n-3)(1/3n)+(2n-1)(1/3n+1).相减,中间n-1项等比数列求和化简有,f(1/3)=1-(n+1)/3n.用二项式定理知3n=(1+2)n=1+Cn1·2+Cn2·22+…1+2n1+n,所以0(n+1)/3n1，故0f(1/3)1.4整体变形，类比“裂项相消法求和”的方法.例5函数f(x)满足对任意x,y都有f(x)+f(y)=f(xyyx1)，且当x0时，都有f(x)0，求证f(51)+f(111)+…+f(1312nn)f(21).简析：整体把握不等式左端数列和，从通项入手，类比“裂项相消法求和”的方法，依据对应法则的结构特征，逆用对应法则探求证题思路.赋值易知f(x)奇函数，且当x0时，都有f(x)0.创造使用对应法则.由于)21(1112111)2)(1(11312nnnnnnnn，所以,f(1312nn)=f（11n）-f(21n),整体处理不等式左端数列和有，f(51)+f(111)+…+f(1312nn)=〔f(21)-f(31)〕+〔f(31)-f(51)〕+…+〔f(11n)-f(21n)〕=f(21)-f(21n),由题设21n0,恒有f(21n)0,则f(21)-f(21n)f(21).故不等式成立.