高一数学课件41平面向量的物理背景及其含义高一数学课件

浙江省安吉县昌硕高中姚秀梅y一般地，实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘运算，记作λ，它的长度和方向规定如下：(1)|λ|=|λ|||(2)当λ0时,λ的方向与方向相同；当λ0时,λ的方向与方向相反；特别地，当λ=0或=时,λ=.aaaaaaaaaa00ab,、向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。对于任意的向量以及任意实数恒有12、、，22aa11(b)=b设,为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：①λ(μ)=(λμ)②(λ+μ)=λ+μ③λ(+)=λ+λabaaaaaabba已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角。OBAθ当θ＝0°时，a与b同向；OAB当θ＝180°时，a与b反向；OABB当θ＝90°时，称a与b垂直，记为a⊥b.OAab我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）θFS力F所做的功W可用下式计算W=|F||S|cosθ其中θ是F与S的夹角从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，我们把数量||||cosθ叫做与的数量积（或内积），记作··=||||cosθararararararbrbrbrbrbrbr注意：向量的数量积是一个数量。规定:零向量与任一向量的数量积为0。叫做向量在方向上（或向量在方向上）的投影。||cos(||cos)ba或bbaa向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？·=||||cosθararbrbr当θ=90°时为零。arbr·当90°＜θ≤180°时为负。arbr·当0°≤θ＜90°时为正；arbr·设barr、是非零向量，berr是与方向相同的单位向量，earr与是的夹角，则cos||)1(aeaaerrrrr0)2(babarrrr|;|||)3(bababarrrrrr同向时，与当|;|||bababarrrrrr反向时，与当特别地2||aaarrraaarrr||或2ar||||cos)4(babarrrr||||||)5(babarrrrOABθabB1||||cosabab解：a·b=|a||b|cosθ=5×4×cos120°=5×4×（-1/2）=－10例1已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120°，求a·b。例2已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。解：|a|=√2,|b|=2,θ=45°∴a·b=|a||b|cosθ=√2×2×cos45°=2OABθ|b|cosθabB1barr等于ar的长度||ar方向上的投影在abrr与cos||br的乘积。练习：1．若a=0，则对任一向量b，有a·b=0．2．若a≠0，则对任一非零向量b,有a·b≠0．3．若a≠0，a·b=0，则b=04．若a·b=0，则a·b中至少有一个为0．5．若a≠0，a·b=b·c，则a=c6．若a·b=a·c,则b≠c,当且仅当a=0时成立．7．对任意向量a有22||aa√×××××√二、平面向量的数量积的运算律：数量积的运算律：cbcacbabababaabbarrrrrrrrrrrrrrrrr))(3()()())(2()1(其中，cbarrr、、是任意三个向量，R注：)()(cbacbarrrrrr则(a+b)·c=ON|c|=(OM+MN)|c|=OM|c|+MN|c|=a·c+b·c.ONMa+bbac向量a、b、a+b在c上的射影的数量分别是OM、MN、ON,证明运算律(3)例3：求证：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.例3：求证：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.证明：（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b＝a·a＋b·a－a·b－b·b＝a2－b2.例4、2)(3)abab求（。||,||4,abab已知３与60,o的夹角为变式１：求|a+2b|,|a-b|变式２：当且仅当k为何值时，垂直2kabab与思考：用向量方法证明：直径所对的圆周角为直角。ABCO如图所示，已知⊙O，AB为直径，C为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°分析：要证∠ACB=90°，只须证向量，即。ACCB0ACCB解：设则，由此可得：,AOaOCb,ACabCBabACCBabab2222||||abab220rr即，∠ACB=90°0CBAC小结已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，我们把数量||||cosθ叫做与的数量积（或内积），记作··=||||cosθararararararbrbrbrbrbrbr(1)0abab|;|||)3(bababarrrrrr同向时，与当|;|||bababarrrrrr反向时，与当2(2)||aaaaaarrr||或2ar||||cos)4(babarrrr||||||)5(babarrrr作业：1，Ｐ1191,2,72,作业11数学使人聪颖数学使人严谨数学使人深刻数学使人缜密数学使人坚毅数学使人智慧