第2课时等边三角形的性质北师大版八年级下册数学课件

1.1等腰三角形第一章三角形的证明导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时等边三角形的性质学习目标1.进一步学习等腰三角形的相关性质，了解等腰三角形两底角的角平分线（两腰上的高，中线）的性质;2.学习等边三角形的性质，并能够运用其解决问题.(重点、难点)在七下我们已经知道了“三边相等的三角形是等边三角形”，生活中有很多等边三角形，如交通图标、台球室的三角架等，它们都是等边三角形.思考：在上一节课我们证明等腰三角形的两底角相等，那等边三角形的各角之间有什么关系呢？导入新课情境引入讲授新课等腰三角形的重要线段的性质一ACBDEACBMNACBPQ上节课我们证明了等腰三角形的“三线合一”，试猜想等腰三角形的两底角的角平分线、两腰上的高、两腰上的中线有什么关系呢？猜想：底角的两条平分线相等；•两条腰上的中线相等；•两条腰上的高线相等.你能证明你的猜想吗？例1证明:等腰三角形两底角的平分线相等．ACBE已知:求证:BD=CE.如图,在△ABC中,AB=AC,BD和CE是△ABC的角平分线．12猜想证明D∠2=∠ACB(已知),∵AB=AC(已知),∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).证明：12又∵∠1=∠ABC，12∴∠1=∠2(等式性质)．在△BDC与△CEB中，∠DCB=∠EBC（已知），BC=CB（公共边），∠1=∠2（已证），∴△BDC≌△CEB（ASA）．∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．ACBE12D又∵CM=，BN=，12AB例2证明:等腰三角形两腰上的中线相等．BM=CN．求证:已知：如图,在△ABC中,AB=AC,BM,CN是△ABC两腰上的中线．12AC证明：∵AB=AC(已知)，∴∠ABC=∠ACB.∴CM=BN．在△BMC与△CNB中，∵BC=CB,∠MCB=∠NBC,CM=BN，∴△BMC≌△CNB（SAS）．∴BM=CN.ACBMN例3证明:等腰三角形两腰上的高相等．BP=CQ．求证:已知：如图,在△ABC中,AB=AC,BP,CQ是△ABC两腰上的高．证明：∵AB=AC(已知)，∴∠ABC=∠ACB.在△BMC与△CNB中，∵BC=CB,∠QBC=∠PCB,∠BQC=∠CPB，∴△BQC≌△CPB（SAS）．∴BP=CQ.ACBPQ还有其他的结论吗?ACBDE1.已知:如图,在△ABC中,AB=AC.（1）如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，那么BD=CE吗?为什么？（2）如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB呢?由此你能得到一个什么结论?议一议：13131414如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，那么BD=CE吗?1n1n过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等.BD=CEBD=CEBD=CE2.已知:如图,在△ABC中,AB=AC.(1)如果AD=AC,AE=AB,那么BD=CE吗?为什么？1313ACBDEBD=CE(2)如果AD=AC,AE=AB,那么BD=CE吗?为什么？1414BD=CE由此你能得到一个什么结论?(3)如果AD=AC,AE=AB,那么BD=CE吗?为什么？1n1nBD=CE两腰上距顶点等距的两点与底边顶点的连线段相等.这里是一个由特殊结论归纳出一般结论的一种数学思想方法.等边三角形的性质二想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.可以利用等腰三角形的性质进行证明.怎样证明这一定理了？定理证明已知：如图,在△ABC中，AB=AC=BC．求证：∠A=∠B=∠C=60°．ACB证明：在△ABC中，∵AB=AC(已知)，∴∠B=∠C(等边对等角).同理∠A=∠B．又∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°)，∴∠A=∠B=∠C=60°．定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.BCDAE例4：如图，等边三角形ABC中,BD是AC边上的中线,BD=BE,求∠EDA的度数.解：∵△ABC是等边三角形，∴∠CBA=60°.∵BD是AC边上的中线，∴∠BDA=90°,∠DBA=30°.∵BD=BE，∴∠BDE=(180°－∠DBA)÷2=(180°－30°)÷2=75°.∴∠EDA=90°－∠BDE=90°－75°=15°.当堂练习ACBDE1.如图,△ABC和△ADE都是等边三角形，已△ABC的周长为18cm,EC=2cm,则△ADE的周长是cm.122.如图所示，△ACM和△BCN都为等边三角形，连接AN、BM，求证：AN=BM.NMABC证明：∵△ACM和△BCN都为等边三角形，∴∠1＝∠3＝60°，∴∠1＋∠2＝∠3＋∠2，即∠ACN＝∠MCB.∵CA＝CM，CB＝CN，∴△CAN≌△CMB(SAS)，∴AN＝BM.3213.如图，A、O、D三点共线，△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，求∠AEB的大小.CBODAE解：∵△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形.∴AO=BO,CO=DO,∠AOB=∠COD=60°.∵A、O、D三点共线，∴∠DOB=∠COA=120°，∴△COA≌△DOB(SAS).∴∠DBO=∠CAO.设OB与EA相交于点F,∵∠EFB=∠AFO，∴∠AEB=∠AOB=60°.F变式:如图，若把“两个全等的等边三角形”换成“不全等的两个等边三角形”，其余条件不变，你还能求出∠AEB的大小吗？DCABEO方法与前面相同，∠AEB=60°.课堂小结等腰三角形两底角上的平分线、两腰上的高、两腰上的中线的相关性质：底角的两条平分线相等；两条腰上的中线相等；两条腰上的高线相等.定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.见《学练优》本课时练习课后作业更多精彩内容，微信扫描二维码获取扫描二维码获取更多资源