定积分的概念第2课时

§1.5.2汽车行驶的路程【学情分析】：学生在上一节学习了求曲边梯形面积之后，对定积分基本思想方法有了初步的了解。这一节可帮助学生进一步强化理解定积分概念的形成过程。【教学目标】：（1）知识与技能：“以不变代变”思想解决实际问题。（2）过程与方法：强化掌握“分割、以不变代变、求和、取极限”解决问题的思想方法（3）情感态度与价值观：通过引导学生用已学知识求曲边梯形的面积，培养学生应用数学的意识。【教学重点】：“以不变代变”的思想方法，再次体会求解过程中蕴含着的定积分的基本思想【教学难点】：过程的理解．【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、创设情景复习：1．连续函数的概念；2．求曲边梯形面积的基本思想和步骤；利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？引导学生类比上节内容解决本节问题，培养学生数学应用意识。二、新课讲授问题：汽车以速度v组匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程为Svt．如果汽车作变速直线运动，在时刻t的速度为22vtt（单位：km/h），那么它在0≤t≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程S（单位：km）是多少？引用生活实例（课本例题）分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归为匀速直线运动的路程问题．把区间0,1分成n个小区间，在每个小区间上，由于vt的变化很小，可以近似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，在求和得S（单位：km）的近似值，最后让n趋紧于无穷大就得到S（单位：km）的精确值．思想：用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程三、探究讨论思考：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程S与由直线0,1,0ttv和曲线22vt所围成的曲边梯形的面积有什么关系？结合上述求解过程可知，汽车行驶的路程limnnSS在数据上等于由直线0,1,0ttv和曲线22vt所围成的曲边梯形的面积．一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为vvt，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它在a≤t≤b内所作的位移S．分析求曲边梯形面积过程和求汽车行驶的路程过程的关系，使学生认清问题的本质。四、典例分析例：弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力Fxkx（k为常数，x是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b所作的功．分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解．解：将物体用常力F沿力的方向移动距离x，则所作的功为WFx．1．分割在区间0,b上等间隔地插入1n个点，将区间0,1等分成n个小区间：0,bn，2,bbnn，…，1,nbbn记第i个区间为1,(1,2,,)ibibinnn，其长度为1ibibbxnnn把在分段0,bn，2,bbnn，…，1,nbbn上所作的功分别记作：1W，2W，…，nW2．近似代替有条件知：11iibibbWFxknnn(1,2,,)in3．求和111nnniiiibbWWknn22222110121122nnkbkbkbnnnn从而得到W的近似值2112nkbWWn4．取极限2211limlimlim122nninnnikbkb所以得到弹簧从平衡位置拉长b所作的功为：22kb变式例题，可以提高学生对定积分思想的认识。五、课堂练习一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻t的速度为25vtt（单位/kmh），试计算这辆车在02t（单位：h）这段时间内汽车行驶的路程S（单位：km）学以致用，让学生运用已学知识解决问题。六、总结回顾求汽车行驶的路程有关问题的过程与求曲边梯形面积的共同特征，概括出基本步骤总结好这两节的内容，为下节讲解定积分的概念大好基础。