微积分基本定理第2课时

§1.6.2微积分基本定理【学情分析】：在上一节教学中，学生已经学习了微积分基本定理，并且初步学会使用微积分基本定理进行求定积分的计算．本节需要在上一节的基础上，进一步理解定积分的几何意义，以及利用几何意义求几何图形的面积．学生在学习了几种初等函数，必然会设法计算它们的一些定积分．另外学生在之前还学习一些具有特殊函数性质（奇偶性）的函数，这些函数也是可以作为研究的对象．【教学目标】：（1）知识与技能：进一步熟悉运用基本定理求定积分；增强函数知识的横向联系;（2）过程与方法：理解定积分的值与曲边梯形面积之间的关系；（3）情感态度与价值观：培养学生的探究精神与创新思想。【教学重点】：（1）运用基本定理求定积分（2）定积分的值与曲边梯形面积之间的关系【教学难点】：（1）求函数()fx的一个原函数()Fx（2）理解定积分的值与曲边梯形面积之间的关系【教学突破点】：合理利用复合函数的求导法则来求原函数()Fx【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、提出问题师：上一节课，我们学习微积分基本定理（投影微积分基本定理），并且使用微积分基本定理计算了一些简单的定积分．下面我们看看试试计算这些定积分，看看你能发现什么结论？生：计算，讨论．例题1：计算下列定积分：（1）20(2cossin1)dxxx；（2）121dxx解：（1）∵(2sincos)'2cossin1xxxx∴202sincos32xxx原式=（2）∵0x时，1ln'xx∴12lnln1ln2ln2x原式=师（总结）：运用微积分基本定理求定积分的关键是求出满足'()()Fxfx的函数F(x)．（课本P60）例题2：计算下列定积分：（1）0sindxx；（2）2sindxx；（3）20sindxx解：∵(cos)'sinxx∴00sind(cos)(cos)(cos0)2xxx，温故而知新(2)题主要是学生容易忽视定义域，误为12lnln(1)ln(2)x导致无法计算．22sind(cos)(cos2)(cos)2xxx，2200sind(cos)(cos2)(cos0)0xxx二、探索新知生：（可能会回答）2200sindsindsindxxxxxx师：这是一个定积分的性质：()d()d()dbcbaacfxxfxxfxx（其中acb）．师：试试利用曲边梯形的面积表述所发现的结论．x+12yO－x12yO－x+12yO生：定积分的值可以是正值、负值或0．生：（书本P60）(1)当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正值，等于曲边梯形的面积；（2）当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值教师利用函数图象引导学生归纳给出一般结论为负值，等于曲边梯形的面积的相反数．师：根据你们的结论，我们可以进一步补充课本P51页的定积分的几何意义：dc-++baOxyy=f(x)一般情况下（如下图），定积分()dbafxx的几何意义是介于x轴、函数()fx的图象以及直线,xaxb之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号；在x轴下方的面积取负号．师：如果()fx在区间,ab上恒为正，则定积分()d0bafxx，为面积值；但是()d0bafxx，不能推出()fx在区间,ab上恒为正．师：由上图我们还可以等出一个结论：若()fx在区间,ab上不是恒为非负的，则函数与x轴以及直线,xaxb所围的图形的面积为()dbafxx．例如上图中，()d()d()d()d()d()d()dbcdbaacdcdbacdfxxfxxfxxfxxfxxfxxfxx例题3：已知()fx在,aa上连续，若()fx是奇函数，则()daafxx．并证明你的结论。附证明：（1）∵()fx在,aa上连续,是奇函数，∴()()fxfx，,xaa设'()()Fxfx，则有'()()Fxfx,'()()()'()()''()()'FxfxfxFxxFxFx∴()()FxFxC（C为常数）令0x，则有(0)(0)FFC，∴0C着重说明定积分的值与曲边梯形面积之间的关系：令位于x轴上方的曲边梯形的面积取正值，位于x轴下方的曲边梯形的面积取负值，这样定积分的值就是曲边梯形面积的代数和显示出数形结合的威力复合函数的求导法则的逆运用∴()()FxFx∴()d()()()()()0aaaafxxFxFaFaFaFa∴原式得证师：本题从几何直观上是非常容易理解的，但是要使用微积分基本定理证明，关键是证明奇函数的原函数是偶函数这个性质．容易误为()()FxFx再次强调运用微积分基本定理求定积分的关键是求出原函数F(x)三：实践新知练习：若()fx是偶函数，则0()d2()daaafxxfxx．证明：∵()fx在,aa上连续,是偶函数，∴()()fxfx，,xaa设'()()Fxfx，则有'()()Fxfx,'()()()'()()'()()'FxfxfxFxxFxFx∴()()FxFxC（C为常数）令0x，则有(0)(0)FFC，∴2(0)CF∴()d()()()2()aaaafxxFxFaFaFaC002()d2()2()(0)2()aafxxFxFaFFaC∴原式得证巩固新知练习：1．P62习题1.6B组第1题（1）（3）2．P62习题1.6B组第2题（1）（3）总结归纳定积分的几何意义：一般情况下，定积分()dbafxx的几何意义是介于x轴、函数()fx的图象以及直线,xaxb之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号；在x轴下方的面积取负号．布置作业1．P62习题1.6B组第1题（2）（4）2．P62习题1.6B组第2题（2）（4）3．P62习题1.6B组第3题设计反思对于例题3，在证明某些关键的地方要提示，也可以采用老师讲授的方法，再进行模仿练习。如果实在困难，略去严格的数学证明也未尝不可。（基础题）1.22(sincos)dxxx的值是（）(A)0(B)4(C)2(D)4答案：C解释：2222(sincos)dcossin2xxxxx2.曲线3cos(0)2yxx与坐标轴所围成的面积是（）(A)2(B)3(C)52(D)4答案：B解释：33222002cosdcosd(cos)dSxxxxxx3202sinsin123xx3.sin(02)yxx与x轴所围成图形的面积为答案：4解释：2200sindsindsindxxxxxx20cos(cos)4xx4.设201()512xxfxx，求20()fxdx。xyo12解释：2121200101()()()256fxdxfxdxfxdxxdxdx（难题）5.求222max{,}.xxdx解释：由图形可知22220()max{,}01,12xxfxxxxxxx∴0122220111.2xdxxdxxdx原式6.设()fx为R上以T为周期的连续函数，证明对任何实数a，有0()d()daTTafxxfxx证明：∵()fx为R上以T为周期的连续函数∴()(),fxTfxxR设'()()Fxfx，则有'()()FxTfxT'()()()'()()''()()'FxfxfxTFxTxTFxTFxT∴()()FxFxTC（C为常数）∴()()CFxFxT令0x，则(0)()CFFT令xa，则()()CFaFaT∴()d()()()aTaTaafxxFxFaTFaC∴00()d()()(0)TTfxxFxFTFC∴原式等证。yxo2yx122yx