函数的最大小值与导数

§1．3．3函数的最大（小）值与导数（1课时）【学情分析】：这部分是在高一学过的函数单调性的基础上，给出判定可导函数增减性的方法，然后讨论函数的极值，由极值的意义，结合图象，得到利用导数判别可导函数极值的方法，最后在可以确定函数极值的前提下，给出求可导函数的最大值与最小值的方法奎屯王新敞新疆【教学目标】：（1）使学生理解函数的最大值和最小值的概念，能区分最值与极值的概念（2）使学生掌握用导数求函数最值的方法和步骤【教学重点】：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．【教学难点】：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．熟练计算函数最值的步骤【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图复习引入设函数f(x)在点x0附近有定义，f(x0)是函数f(x)的一个极大值f(x0)，x0是极大值点，则对x0附近的所有的点，都有f(x)____f(x0)设函数f(x)在点x0附近有定义，f(x0)是函数f(x)的一个极小值f(x0)，x0是极小值点，则对x0附近的所有的点，都有f(x)____f(x0)知识的巩固概念对比回顾以前所学关于最值的概念，形成对比认识：函数最大值的概念：设函数y=f(x)的定义域为I.如果存在实数M满足：（1）对于任意的_____，都有f(x)___M（2）存在__________，使得_______则称M为函数y=f(x)的最________值函数最小值的概念：设函数y=f(x)的定义域为I.如果存在实数M满足：（1）对于任意的_____，都有f(x)___M（2）存在__________，使得_______则称M为函数y=f(x)的最________值思考：你觉得极值与最值的区别在哪里？让学生发现极值与最值的概念区别，观察右图闭区间ba,上函数)(xf的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？图中)(1xf、3()fx是极大值，2()fx、)x(f4是极小值．你能找出函数)x(fy在区间ba,上的最大、最小值吗？容易得出：函数)(xf在ba,上的最大值是)(bf，最小值是2()fxabxyx1x2x3x4axyx1x2x3x4x5b观察下面函数在区间[a,b]上的图象,回答：（1）函数在[a,b]上有极大值或极小值吗?在哪一点取得极大值或极小值?（2）函数在[a,b]上有最大值或最小值吗?如果有,最大值或最小值分别是什么?概念辨析练习（1）函数的极大（小）值一定是函数的最大（小）值，极大（小）值点就是最大（小）值点（2）函数的最大（小）值一定是函数的极大（小）值，最大（小）值点就是极大（小）值点（3）函数y=f(x)在x=a处取得极值是函数y=f(x)在x=a处取得最值的____________（充要性）通过练习深化他们对函数取极值与最值的区别对极值与最值概念的深化理解（1）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（2）函数的最值是描述函数在整个定义域上的整体性质，函数的极值是描述函数在某个局部的性质（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个点评提高闭区间上的函数最值问题（1）在闭区间上函数最值的存在性：通过观察一系列函数在闭区间上的函数图像，并指出函数的最值及相应的最值点：一般性总结：在闭区间ba,上连续的函数)(xf在ba,上必有最大值与最小值．（连续函数的闭区间定理——数学分析）（2）在闭区间上函数最值点的分析：既然在闭区间ba,上连续的函数)(xf在ba,上必有最值，那么最值点会是哪些点呢？通过上述图像的观察，可以发现最值点可能是闭区间的端点，函数的极值点有无其他可能？没有——反证法可说明本节的主要内容及主要结论，也是求函数最值的理论根据和方法指引需要注意的地方判断正误：（1）在开区间(,)ab内连续的函数)(xf一定有最大值与最小值（2）函数)(xf在闭区间ba,上一定有最大值与最小值（3）函数)(xf在闭区间ba,上连续，是)(xf在闭区间ba,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．说明：（1）F；（2）F；（3）Ty=f(x)y=g(x)开区间),(ba内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值奎屯王新敞新疆例题精讲例1．（课本例5）求31443fxxx在0,3的最大值与最小值奎屯王新敞新疆解：由例4可知，在0,3上，当2x时，()fx有极小值，并且极小值为4(2)3f，又由于04f，31f因此，函数31443fxxx在0,3的最大值是4，最小值是43．上述结论可以从函数31443fxxx在0,3上的图象得到直观验证．例2．求函数5224xxy在区间2,2上的最大值与最小值奎屯王新敞新疆解：先求导数，得xxy443/令/y＝0即0443xx解得1,0,1321xxx导数/y的正负以及)2(f，)2(f如下表从上表知，当2x时，函数有最大值13，当1x时，函数有最小值4奎屯王新敞新疆例3．已知23()logxaxbfxx,x∈(0,+∞).是否存在实数ab、,使)(xf同时满足下列两个条件：（1）)(xf)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；（2）)(xf的最小值是1，若存在，求出ab、，若不存在，说明理由.解：设g(x)=xbaxx2∵f(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数∴g(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数.∴3)1(0)1('gg∴3101bab解得11ba经检验，a=1,b=1时，f(x)满足题设的两个条件.X-2（-2,-1）-1（-1,0）0（0,1）1（1,2）2y/－0＋0－0＋y13↘4↗5↘4↗13求闭区间上连续函数最值的设函数)(xf在ba,上连续，在(,)ab内可导，则求)(xf在ba,上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求)(xf在(,)ab内的极值；方法与步骤总结⑵将)(xf的各极值与)(af、)(bf比较得出函数)(xf在ba,上的最值奎屯王新敞新疆课后练习：1、函数32()23125fxxxx在区间0,3上的最大值和最小值分别为（）A新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆5，-15B新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆5，-4C新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆-4，-15D新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆5，-16答案D2、函数344xxy在区间2,3上的最小值为（）A新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆72B新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆36C新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆12D新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆0答案D'3'3''44,0,440,1,1,0;1,0yxyxxxyxy令当时当时3、函数xxyln的最大值为（）A新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆1eB新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆eC新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆2eD新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆310答案A令'''22(ln)ln1ln0,xxxxxyxexx，当xe时，'0y；当xe时，'0y，1()yfee极大值，在定义域内只有一个极值，所以max1ye4、函数()cossinfxxxx在0,2上的最大值是__________最小值是__________答案5、函数2cosyxx在区间[0,]2上的最大值是新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆答案36'12sin0,6yxx，比较0,,62处的函数值，得max36y6、求函数32()39fxxxxa新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（1）求函数()yfx的单调递减区间（2）函数()yfx在区间2,2上的最大值是20，求它在该区间上的最小值答案：'2()3693(3)(1)0fxxxxx,1，3,为减区间1,3为增区间(2)8349222faa(2)8349(2)2faa所以(2)834922220faaa=-2,所以最小值为(1)1319(2)216f