生活中的优化问题举例2

§1．4．2生活中的优化问题举例（2）【学情分析】：在基本方法已经掌握的基础上，本节课重点放在提高学生的应用能力上。【教学目标】：1．掌握利用导数求函数最值的基本方法。2.提高将实际问题转化为数学问题的能力.提高学生综合、灵活运用导数的知识解决生活中问题的能力奎屯王新敞新疆3．体会导数在解决实际问题中的作用.【教学重点】：利用导数解决生活中的一些优化问题．【教学难点】：将生活中的问题转化为用函数表示的数学问题，再用导数解决数学问题，从而得出问题的最优化选择。【教法、学法设计】：练---讲---练.【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图(1)复习引入：1、建立数学模型（确立目标函数）是解决应用性性问题的关键2、要注意不能漏掉函数的定义域为课题作铺垫.(2)典型例题讲解例1、用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。解:设容器底面短边长为xm,则另一边长为(x+0.5)m,高为(14.8-4x-4(x+0.5))/4=(3.2-2x)m则3.2–2x0,x0,得0x1.6.设容器体积为ym3,则y=x(x+0.5)(3.2–2x)=-2x3+2.2x2+1.6x(0x1.6)y'=-6x2+4.4x+1.6,令y'=0得x=1或x=-4/15(舍去），∴当0x1时，y'0,当1x1.6时，y'0,∴在x=1处，y有最大值，此时高为1.2m,最大容积为1.8m3。选择一个学生感觉不是很难的题目作为例题，让学生自己体验一下应用题中最优化化问题的解。(4)加强巩固1例2、有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的两侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？（注：不计河宽）解：设40,sinBCDBC则，2（02）,5040cotAC.设总的水管费用为f().依题意,有f()=3a(50-40cot ）+405sina.f()=253cossin53cossin40sina=235cos40sina.令f()=0,得3cos5.根据问题的实际意义,当3cos5时,函数取得最小值,此时,4sin5,3cot4,5040cot20ACkm,即供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省。使学生能熟练步骤.(5)加强巩固2例3、已知某厂生产x件产品的成本为C=212500020040xx（元），问：（1）要使平均成本最低，应生产多少件产品？（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？解：（1）设平均成本为y元，则2125000200250004020040xxxyxx.2250002500012004040xyxx.令y,得11000x,21000x舍去当在11000x附近左侧时,y0;在x=1000附近右侧时,y0,故当x=1000时,y取得最小值,因此,要使平均成本最低,应生产1000件产品.(2)利润函数为2250025000200300250004040xxLxxx,2300250003004020xxLx.令0L,解得6000x.当在6000x附近左侧时,L0;在6000x附近右侧时,L0.故当6000x时,L取得极大值.由于函数只有一个使0L的点,且函数在该点有极大值,那么函数在该点取得最大值.因此,要使利润最大,应生产6000件产品.提高提高问题的综合性，锻炼学生能力。(6)课堂小结1、让学生自己总结生活中的最优化问题的设计背景主要有：立体几何、解析几何、三角函数等。2、自变量的引入不是固定的，要注意引入自变量的技巧。(7)作业布置:教科书P104A组4,5,6。(8备用题目：1、用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各剪去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角剪去的正方形的边长为（B）A6cmB8cmC16cmD12cm3、做一个容积为3256m底面为正方形的无盖长方体水箱，它的高为4m时，最省料。4、某公司规定：对于小于或等于150件的订购合同，每件售价为280元，对于多于150的订购合同，每超过一件，则每件售价比原来减少1元，当公司的收益最大时订购件数为215。5、某宾馆有５０个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为１８０元时，房间会全部住满；房间的单价每增加１０元，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆每天每间需花费２０元的各种维修费．房间定价多少时，宾馆的利润最大？解:设宾馆定价为(180＋10x)元时，宾馆的利润Ｗ最大(18010)(50)(50)20Wxxx2103408000xx其中0,50x'()0,17Wxx令求得'()0,17Wxx当时'()0,17Wxx；当时17xW当，利润最大1801017350此时房价为：（元）6、一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比,已知速度为每小时10km,燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元,求这艘轮船在以何种速度航行时,能使航行1km的费用总和最小?解:设船速为x(x0),航行1km的费用总和为y,设每小时燃料费为1y则3311133,106500500ykxxykyx时323139696500500yxxxx.（其中0x）；2696500yxx.令0y,解得20x.当020,0;20,0;xyxy时此时函数为减函数当时此时函数为增函数20x66时函数有最小值为25，即以每小时20公里的速度航行时，航行1km的费用总和最小。