空间向量及其运算高三数学课件

8.6空间向量及其运算知识梳理-2-知识梳理双基自测234151.空间向量的有关概念(1)空间向量:在空间中,具有和的量叫做空间向量,其大小叫做向量的或.(2)相等向量:方向且模的向量.(3)共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在的直线或,则这些向量叫做或,a平行于b记作a∥b.(4)共面向量:平行于同一的向量叫做共面向量.大小方向长度模相同相等平行重合共线向量平行向量平面知识梳理-3-知识梳理双基自测234152.空间向量的有关定理(1)共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b⇔存在λ∈R,使a=λb.(2)共面向量定理:若两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面⇔存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.(3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组{x,y,z}使得p=xa+yb+zc.其中{a,b,c}叫做空间的一个基底.知识梳理-4-知识梳理双基自测234153.两个向量的数量积(1)两个向量的夹角已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作则∠AOB叫做向量a,b的夹角,记作,其范围是,若a,b=,则向量a,b,记作a⊥b.(2)两个向量的数量积已知两个非零向量a,b,则叫做向量a,b的数量积,记作,即a·b=.𝑂𝐴=a,𝑂𝐵=b,π2a,b0≤a,b≤π互相垂直|a||b|cosa,ba·b|a||b|cosa,b知识梳理-5-知识梳理双基自测234154.空间向量的坐标表示及其应用设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).向量表示坐标表示数量积a·b共线a=λb(b≠0)垂直a·b=0(a≠0,b≠0)模|a|𝑎12+𝑎22+𝑎32夹角a,b(a≠0,b≠0)cosa,b=𝑎1𝑏1+𝑎2𝑏2+𝑎3𝑏3𝑎12+𝑎22+𝑎32·𝑏12+𝑏22+𝑏32a1b1+a2b2+a3b3a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3a1b1+a2b2+a3b3=0知识梳理-6-知识梳理双基自测234155.常用结论(1)对空间任一点O,若𝑂𝑃=x𝑂𝐴+y𝑂𝐵(x+y=1),则P,A,B三点共线.(2)对空间任一点O,若𝑂𝑃=x𝑂𝐴+y𝑂𝐵+z𝑂𝐶(x+y+z=1),则P,A,B,C四点共面.(3)向量的数量积满足交换律和分配律,即a·b=b·a,a·(b+c)=a·b+a·c成立,但不满足结合律,即(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.知识梳理2-7-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)“|a|-|b|=|a+b|”是“a,b共线”的充要条件.()(2)对空间任意一点O与不共线的三点A,B,C,若(3)对于空间非零向量a,b,a⊥b⇔a·b=0.()(4)对于非零向量b,由a·b=b·c,得a=c.()(5)非零向量a,b,c满足(a·b)·c=a·(b·c).()𝑂𝑃=x𝑂𝐴+y𝑂𝐵+z𝑂𝐶(其中x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面.()答案答案关闭(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×知识梳理-8-知识梳理双基自测234152.若x,y∈R,有下列命题:①若p=xa+yb,则p与a,b共面;②若p与a,b共面,则p=xa+yb;③若𝑀𝑃=x𝑀𝐴+y𝑀𝐵,则P,M,A,B共面;④若P,M,A,B共面,则𝑀𝑃=x𝑀𝐴+y𝑀𝐵.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4答案解析解析关闭①正确,②中若a,b共线,p与a不共线,则p=xa+yb就不成立.③正确.④中若M,A,B共线,点P不在此直线上,则𝑀𝑃=x𝑀𝐴+y𝑀𝐵不正确答案解析关闭B知识梳理-9-知识梳理双基自测234153.(教材习题改编P92T3)如图,在一个60°的二面角的棱上,有两个点A,B,AC,BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段,且AB=4,AC=6,BD=8,则CD的长为.答案解析解析关闭设𝐴𝐵=a,𝐴𝐶=c,𝐵𝐷=d,由已知条件知|a|=4,|c|=6,|d|=8,a,c=90°,a,d=90°,c,d=60°,|𝐶𝐷|2=|𝐶𝐴+𝐴𝐵+𝐵𝐷|2=|-c+a+d|2=a2+c2+d2-2a·c+2a·d-2c·d=16+36+64-2×6×8×12=68,则|𝐶𝐷|=2√17.答案解析关闭2√17知识梳理-10-知识梳理双基自测234154.(教材习题改编P98T10)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1和BB1的中点,则直线AM和CN所成角的余弦值为.答案答案关闭25知识梳理-11-知识梳理双基自测23415解析以D为原点,DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴正半轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),B(1,1,0),C(0,1,0),∴M1,12,1,N1,1,12,∴𝐴𝑀=0,12,1,𝐶𝑁=1,0,12,∴cos𝐴𝑀,𝐶𝑁=𝐴𝑀·𝐶𝑁|𝐴𝑀||𝐶𝑁|=12122+12×12+122=25.知识梳理-12-知识梳理双基自测234155.(教材习题改编P98T4)如图,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,计算:(3)EG的长;(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值.(1)𝐸𝐹·𝐵𝐴;(2)𝐸𝐹·𝐷𝐶;知识梳理-13-知识梳理双基自测23415解设𝐴𝐵=a,𝐴𝐶=b,𝐴𝐷=c.则|a|=|b|=|c|=1,a,b=b,c=c,a=60°.(1)𝐸𝐹=12𝐵𝐷=12c-12a,𝐵𝐴=-a,𝐷𝐶=b-c,𝐸𝐹·𝐵𝐴=12𝑐-12𝑎·(-a)=12a2-12a·c=14.(2)𝐸𝐹·𝐷𝐶=12(c-a)·(b-c)=12(b·c-a·b-c2+a·c)=-14.知识梳理-14-知识梳理双基自测23415(3)𝐸𝐺=𝐸𝐵+𝐵𝐶+𝐶𝐺=12a+b-a+12c-12b=-12a+12b+12c,|𝐸𝐺|2=14a2+14b2+14c2-12a·b+12b·c-12c·a=12,则|𝐸𝐺|=√22.(4)𝐴𝐺=12b+12c,𝐶𝐸=𝐶𝐴+𝐴𝐸=-b+12a,cos𝐴𝐺,𝐶𝐸=𝐴𝐺·𝐶𝐸|𝐴𝐺||𝐶𝐸|=-23,因为异面直线所成角的范围是0,π2,所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为23.-15-考点1考点2考点3考点1空间向量的线性运算例1如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设𝐴𝐴1=a,𝐴𝐵=b,𝐴𝐷=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:(1)𝐴𝑃;(2)𝐴1𝑁;(3)𝑀𝑃+𝑁𝐶1.思考如何利用空间向量的线性运算表示所需向量?-16-考点1考点2考点3解(1)∵P是C1D1的中点,∴𝐴𝑃=𝐴𝐴1+𝐴1𝐷1+𝐷1𝑃=a+𝐴𝐷+12𝐷1𝐶1=a+c+12𝐴𝐵=a+c+12b.(2)∵N是BC的中点,∴𝐴1𝑁=𝐴1𝐴+𝐴𝐵+𝐵𝑁=-a+b+12𝐵𝐶=-a+b+12𝐴𝐷=-a+b+12c.(3)∵M是AA1的中点,∴𝑀𝑃=𝑀𝐴+𝐴𝑃=12𝐴1𝐴+𝐴𝑃=-12a+𝑎+𝑐+12𝑏=12a+12b+c.又𝑁𝐶1=𝑁𝐶+𝐶𝐶1=12𝐵𝐶+𝐴𝐴1=12𝐴𝐷+𝐴𝐴1=12c+a,∴𝑀𝑃+𝑁𝐶1=12𝑎+12𝑏+𝑐+𝑎+12𝑐=32a+12b+32c.-17-考点1考点2考点3解题心得1.选定空间不共面的三个向量作基向量,并用它们表示出指定的向量,这是用向量解决立体几何问题的基本要求,另外解题时应结合已知和所求观察图形,联想相关的运算法则和公式等,就近表示所需向量.2.空间向量问题可以转化为平面向量问题来解决,即把空间向量转化到某一个平面上,利用三角形法则或平行四边形法则来解决.-18-考点1考点2考点3对点训练1在三棱锥O-ABC中,M,N分别是OA,BC的中点,G是△ABC的重心,用基向量𝑂𝐴,𝑂𝐵,𝑂𝐶表示𝑂𝐺,𝑀𝐺.-19-考点1考点2考点3解𝑂𝐺=𝑂𝐴+𝐴𝐺=𝑂𝐴+23𝐴𝑁=𝑂𝐴+23(𝑂𝑁−𝑂𝐴)=𝑂𝐴+2312(𝑂𝐵+𝑂𝐶)-𝑂𝐴=13𝑂𝐴+13𝑂𝐵+13𝑂𝐶.𝑀𝐺=𝑂𝐺−𝑂𝑀=𝑂𝐺−12𝑂𝐴=13𝑂𝐴+13𝑂𝐵+13𝑂𝐶−12𝑂𝐴=-16𝑂𝐴+13𝑂𝐵+13𝑂𝐶.-20-考点1考点2考点3考点2共线定理、共面定理的应用例2已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,用向量方法证明:(1)E,F,G,H四点共面;(2)BD∥平面EFGH.思考共线定理、共面定理有哪些应用?-21-考点1考点2考点3证明(1)连接BG,EG,则𝐸𝐺=𝐸𝐵+𝐵𝐺=𝐸𝐵+12(𝐵𝐶+𝐵𝐷)=𝐸𝐵+𝐵𝐹+12(𝐴𝐷−𝐴𝐵)=𝐸𝐹+𝐴𝐻−𝐴𝐸=𝐸𝐹+𝐸𝐻,由共面向量定理知,E,F,G,H四点共面.(2)因为𝐸𝐻=𝐴𝐻−𝐴𝐸=12𝐴𝐷−12𝐴𝐵=12(𝐴𝐷−𝐴𝐵)=12𝐵𝐷,又E,H,B,D四点不共线,所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH,BD⊄平面EFGH,所以BD∥平面EFGH.-22-考点1考点2考点3解题心得1.证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题,如证明A,B,C三点共线,即证明𝐴𝐵,𝐴𝐶共线,亦即证明𝐴𝐵=λ𝐴𝐶(λ≠0).2.证明点共面问题可转化为证明向量共面问题,如要证明P,A,B,C四点共面,只要能证明𝑃𝐴=x𝑃𝐵+y𝑃𝐶,或对空间任一点O,有𝑂𝐴=𝑂𝑃+x𝑃𝐵+y𝑃𝐶,或𝑂𝑃=x𝑂𝐴+y𝑂𝐵+z𝑂𝐶(x+y+z=1)即可.共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件.-23-考点1考点2考点3对点训练2如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,点M,N分别在AC1和BC上,且满足𝐴𝑀=k𝐴𝐶1,𝐵𝑁=k𝐵𝐶(0≤k≤1).(1)向量𝑀𝑁是否与向量𝐴𝐵,𝐴𝐴1共面?(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行?-24-考点1考点2考点3解(1)∵𝐴𝑀=k𝐴𝐶1,𝐵𝑁=k𝐵𝐶,∴𝑀𝑁=𝑀𝐴+𝐴𝐵+𝐵𝑁=k𝐶1𝐴+𝐴𝐵+k𝐵𝐶=k(𝐶1𝐴+𝐵𝐶)+𝐴𝐵=k(𝐶1𝐴+𝐵1𝐶1)+𝐴𝐵=k𝐵1𝐴+𝐴𝐵=𝐴𝐵-k𝐴𝐵1=𝐴𝐵-k(𝐴𝐴1+𝐴𝐵)=(1-k)𝐴𝐵-k𝐴𝐴1,∴由共面向量定理知向量𝑀𝑁与向量𝐴𝐵,𝐴𝐴1共面.(2)当k=0时,点M,A重合,点N,B重合,MN在平面ABB1A1内.当0k≤1时,MN不在平面ABB1A1内,又由(1)知𝑀𝑁与𝐴𝐵,𝐴𝐴1共面,故MN∥平面ABB1A1.-25-考点1考点2考点3考点3利用空间向量的数量积求长度例3如图,在▱ABCD中,AB=AC=CD=1,∠ACD=90°,把△ADC沿对角线AC折起,使AB与CD所成的角为60°,求BD的长.思考如何利用空间向量的数量积求长度?-26-考点1考点2考点3解∵AB与CD所成的角为60°,∴𝐵𝐴,𝐶𝐷=60°或𝐵𝐴,𝐶𝐷=120°.又AB=AC=CD=1,AC⊥CD,AC⊥AB,∴|𝐵𝐷|=𝐵𝐷2=(BA+AC+CD)