人教A版数学选修23全册课件第一章12121第一课时排列与排列数公式

第一章1.21.2.1第一课时排列与排列数公式2突破常考题型题型一题型二题型三3跨越高分障碍4应用落实体验随堂即时演练课时达标检测知识点一知识点二1理解教材新知1.2排列与组合1．2.1排列第一课时排列与排列数公式[提出问题]1．在学校奖学金发放仪式上，校长和两位获得特等奖学金的男女同学合影留念．师生三人站成一排，校长站在中间．排列的定义问题1：男生在左边和女生在左边是相同的排法吗？提示：不是．问题2：有几种排法？提示：2种，男—师—女，女—师—男．2．从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动．问题1：让你安排这项活动需分几步？它们是什么？提示：分两步：第1步，确定上午的同学；第2步，确定下午的同学．问题2：有几种排法？提示：上午有3种，下午有2种，因此共有3×2＝6种排法．问题3：甲乙和乙甲是相同的排法吗？提示：不是．甲乙是甲上午、乙下午；乙甲是乙上午、甲下午．[导入新知]排列的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．顺序[化解疑难]排列定义的理解(1)排列的定义包括两个方面：一是从n个不同的元素中取出元素；二是按一定顺序排列．(2)两个排列相同的条件：①元素相同；②元素的排列顺序相同.[提出问题]两个同学从写有数字1,2,3,4的卡片中选取卡片进行组数字游戏．提示：4×3＝12个无重复数字的两位数．排列数及排列数公式问题1：从这4个数字中选出2个能构成多少个无重复数字的两位数？问题2：从这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的三位数？提示：4×3×2＝24个无重复数字的三位数．问题3：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，共有多少种不同的排法？提示：n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)种不同的排法．[导入新知]排列数定义及表示从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Amn表示Amn＝排列数公式阶乘式Amn＝(n，m∈N*，m≤n)特殊情况Ann＝，A0n＝,0！＝1排列的个数n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)n！n－m！n！1[化解疑难]排列与排列数的区别排列与排列数是两个不同的概念，一个排列就是完成一件事的一种方法，不是数；排列数是指所有排列的个数，它是一个数．符号Amn中，m，n均为正整数，且m≤n，Amn是一个整体．排列的有关概念[例1]下列问题是排列问题吗？(1)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？(2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法有多少种不同的可能？(3)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3位客人入座，又有多少种方法？[解](1)不是，(2)是；(3)第一问不是，第二问是．理由是：由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法求结果时，与两个元素的位置无关，但列除法算式时，两个元素谁作除数，谁作被除数不一样，此时与位置有关．“入座”问题同“排队”，与顺序有关，故选3个座位安排3位客人入座是排列问题．[类题通法]判断是不是排列问题，要抓住排列的本质特征：①取出的元素无重复，②取出的元素必须按顺序排列．元素有序还是无序是判断是否是排列问题的关键．[活学活用]判断下列问题是否为排列问题．(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票价格(假设来回的票价相同)；(2)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(3)某班40名学生在假期相互通信．解：(1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．(2)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(3)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题.[例2]写出下列问题的所有排列：(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？(2)由1,2,3,4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数？试全部列出．用列举法解决排列问题[解](1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共有12个不同的两位数．(2)画出树形图，如图所示．由上面的树形图知，所有的四位数为：1234,1243,1324,1342,1423,1432,2134,2143，2314，2341,2413,2431,3124,3142,3214,3241,3412,3421,4123,4132,4213,4231,4312,4321，共24个没有重复数字的四位数．[类题通法]在排列个数不多的情况下，树形图是一种比较有效的表示方式．在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二个元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能不重不漏，然后按树形图写出排列．[活学活用]同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有()A．6种B．9种C．11种D．23种解析：法一：设四张贺卡分别为A，B，C，D.由题意知，某人(不妨设为A卡的供卡人)取卡的情况有3种，据此将卡的不同分配方式分为三类，对于每一类，其他人依次取卡分步进行．用树状图表示，如图．共有9种不同的分配方式．法二：让A，B，C，D四人依次拿一张别人送出的贺年卡，则可以分三步：第1步，A先拿，有3种不同的方法；第2步，让被A拿走的那张贺年卡的主人拿，共有3种不同的取法；第3步，剩下的两个人都各有1种取法．由分步乘法计数原理知，四张贺年卡有3×3×1×1＝9种不同的分配方式.答案：B排列数公式的应用[例3]计算下列各题：(1)A66；(2)2A58＋7A48A88－A59；(3)若3A3x＝2A2x＋1＋6A2x；求x.[解](1)A66＝6！＝6×5×4×3×2×1＝720.(2)2A58＋7A48A88－A59＝2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×58×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5＝1.(3)由3A3x＝2A2x＋1＋6A2x，得3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)．因为x≥3且x∈N*，所以3x2－17x＋10＝0.解得x＝5或x＝23(舍去)．所以x＝5.[类题通法]1．计算排列数或解含有排列数的方程或不等式时，要注意先提取公因式化简，然后计算．这样做往往会减少运算量．2．连续正整数(因式)的乘积可以写成某个排列数Amn，其中最大的数是排列元素的总个数n，而因式的个数是取出的元素个数m.[活学活用]计算：(1)A77A47；(2)Am－1n－1·An－mn－mAn－1n－1.解：(1)A77A47＝7×6×5×4×3×2×17×6×5×4＝6.(2)原式＝n－1！[n－1－m－1]！·(n－m)！·1n－1！＝n－1！n－m！·(n－m)！·1n－1！＝1.2.忽视排列数公式Amn的隐含条件致误[典例]解不等式：Ax86Ax－28.[解]由Ax86Ax－28，得8！8－x！6×8！10－x！，化简得x2－19x＋840，解之得7x12，①又8≥x，x－20，∴2x≤8②由①②及x∈N*得x＝8.[易错防范]1．本题若忽视公式Amn中的条件“m≤n”，易得到“7x12，且x∈N*，即x＝8,9,10,11”的错误结论．2．本题若忽视公式Amn中的条件“m，n∈N*”，则易得到“2x≤8”的错误结论．3．在解答排列数的方程或不等式时，要注意排列数Amn，m，n∈N*且m≤n这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围．[成功破障]求满足nA3n3A2n且An＋286An8的n的值．解：两不等式可化为：n2n－1n－23·n·n－1①8！6－n！6·8！8－n！②∵n－10，∴①式可化为n(n－2)3，即n2－2n－30，∴n3或n－1(舍去)．由②得：8！6－n！6·8！8－n7－n·6－n！，∴(8－n)(7－n)6，即n2－15n＋500，∴5n10.由排列数的意义可知：n≥3，且n＋2≤8，∴3≤n≤6.综上，5n≤6，又n∈N*，∴n＝6.[随堂即时演练]1．89×90×91×…×100可表示为()A．A10100B．A11100C．A12100D．A13100解析：A12100＝100×99×…×(100－12＋1)＝100×99×…×89.答案：C2．A，B，C三名同学照相留念，呈“一”字形排队，所有排列的方法种数为()A．3B．4C．6D．12解析：列举如下：A—B—C，A—C—B，B—A—C，B—C—A，C—A—B，C—B—A.答案：C3．满足不等式A7nA5n12的n的最小值为________．解析：由排列数公式得n！n－5！n－7！n！12，即(n－5)(n－6)12，解得n9或n2.又n≥7，所以n9，又n∈N*，所以n的最小值为10.答案：104．一次演出，因临时有变化，拟在已安排好的4个节目的基础上再添加2个小品节目，且2个小品节目不相邻，则不同的添加方法共有________种．解析：从原来4个节目形成的5个空中选2个空排列，共有A25＝20种添加方法．答案：205．写出从a，b，c，d这4个字母中，每次取出2个字母的所有排列．解：画出树形图如图所示：因此，共计有12个不同的排列，它们是ab，ac，ad，ba，bc，bd，ca，cb，cd，da，db，dc.[课时达标检测]