人教A版数学选修23全册课件第一章12122第二课时组合习题课

第一章1.21.2.2第二课时组合习题课2突破常考题型题型一题型二题型三3跨越高分障碍4应用落实体验随堂即时演练课时达标检测1回顾相关知识1.2排列与组合1．2.2组合第二课时组合习题课1．排列与组合的不同点是什么？2．在利用组合数的性质应注意什么？组合问题的简单应用[例1]某大学要从16名大学生(男10人，女6人)中选出8名学生组成“假期下乡送科学小组”．(1)如果小组中至少有3名女生，可有多少种不同的选法？(2)如果小组中至少有5名男生，可有多少种不同的选法？(3)如果小组中至多有3名女生，可有多少种不同的选法？[解](1)至少有3名女生的选法可分为如下四类：有3名女生：C36·C510种选法；有4名女生：C46·C410种选法；有5名女生：C56·C310种选法；有6名女生：C66·C210种选法．所以至少有3名女生共有C36·C510＋C46·C410＋C56·C310＋C66·C210＝8955种选法．(2)至少有5名男生的选法可分为如下四类：有5名男生：C510·C36种选法；有6名男生：C610·C26种选法；有7名男生：C710·C16种选法；有8名男生：C810·C06种选法．所以至少有5名男生共有C510·C36＋C610·C26＋C710·C16＋C810·C06＝8955种选法．(3)至多有3名女生的选法可分为如下四类：不含女生：C810种选法；有1名女生：C16·C710种选法；有2名女生：C26·C610种选法；有3名女生：C36·C510种选法．所以至多有3名女生共有C810＋C16·C710＋C26·C610＋C36·C510＝8955种选法．[类题通法]解答有限制条件的组合问题的基本方法是“直接法”和“间接法(排除法)”．其中用直接法求解时，则应坚持“特殊元素优先选取”的原则，优先安排特殊元素的选取，再安排其他元素的选取．而选择间接法的原则是“正难则反”，也就是若正面问题分类较多、较复杂或计算量较大，不妨从反面问题入手，试一试看是否简捷些，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此．[活学活用]现有10件产品，其中有2件次品，任意抽出3件检查．(1)恰有一件是次品的抽法有多少种？(2)至少有一件是次品的抽法有多少种？解：(1)从2件次品中任取1件，有C12种抽法；从8件正品中取2件，有C28种抽法．由分步乘法计数原理可知，共有C12×C28＝56种不同的抽法．(2)法一：含1件次品有C12×C28种抽法，含2件次品有C22×C18种抽法．由分类加法计数原理知，共有C12×C28＋C22×C18＝56＋8＝64种不同的抽法．法二：从10件产品中任取3件有C310种抽法，不含次品有C38种抽法，所以至少有1件次品有C310－C38＝64种抽法．[例2]平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线．以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？与几何有关的组合问题[解]法一：以从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准．第1类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有C24C18＝48个不同的三角形；第2类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有C14C28＝112个不同的三角形；第3类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有C38＝56个不同的三角形．由分类加法计数原理知，共有48＋112＋56＝216个不同的三角形．法二(间接法)：从12个点中任意取3个点，有C312＝220种取法，而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有C34＝4种．故这12个点构成三角形的个数为C312－C34＝216.[类题通法]1．解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理．2．图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用排除法．[活学活用]四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们与点A在同一平面上，有多少种不同的取法？解：如图所示，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外每个面都有5个点，从中取出3点必与点A共面，共有3C35种取法，含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法．根据分类加法计数原理，有3C35＋3＝33种种与顶点A共面三点的取法.排列与组合的综合运用[例3]有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有多少种？[解]分三类：第1类，当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时，不同的排法有C12·C12·C12·C12·A44种．第2类，当取出的4张卡片分别标有数字1,1,4,4时，不同的排法有C22·C22·A44种．第3类，当取出的4张卡片分别标有数字2,2,3,3时，不同的排法有C22·C22·A44种．故满足题意的所有不同的排法种数共有C12·C12·C12·C12·A44＋2C22·C22·A44＝432.[类题通法]1．解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列．2．解排列、组合综合问题时要注意以下几点：(1)元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题．(2)对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合综合问题的一般方法．[活学活用]有6名男医生、4名女医生，从中选3名男医生、2名女医生到5个不同的地区巡回医疗，但规定男医生甲不能到地区A，则共有多少种不同的分派方案？解：分两类：第1类，甲被选中，共有C25C24C14A44种分派方案；第2类，甲不被选中，共有C35C24A55种分派方案．根据分类加法计数原理，共有C25C24C14A44＋C35C24A55＝5760＋7200＝12960种分派方案．1.求解数字中的排列与组合[典例](6分)用0到9这10个数字组成没有重复数字的五位数，其中含3个奇数数字与2个偶数数字的五位数有多少个？[解题流程]取出数字组成五位数是排列问题10个数字含有0，0不能在首位，求解应分“不含0的”和“含有0的”两类特殊元素优先安排恰当分类→先选后排→结果[规范解答]法一(直接法)：把从5个偶数中任取2个分为两类：(1)不含0的：由3个奇数数字和2个偶数数字组成的五位数，可分两步进行：第1步，选出3奇2偶的数字，方法有C35C24种；第2步，对选出的5个数字全排列有A55种方法．[名师批注]由于数字0是一个特殊元素，5个数字含0与不含0的排列解法不一样，自然将问题分为两大类.故所有适合条件的五位数有C35C24A55个．(2分)(2)含有0的：这时0只能排在除首位(万位)以外的四个位置中的一个，有A14种排法；再从2,4,6,8中任取一个，有C14种取法；从5个奇数数字中任取3个，有C35种取法，再把取出的4个数全排列有A44种方法，故有A14C14C35A44种排法．(4分)根据分类加法计数原理，共有C35C24A55＋A14C14C35A44＝11040个符合要求的数．(6分)法二(间接法)：如果对0不限制，共有C35C25A55种，(2分)其中0居首位的有C35C14A44种．(4分)故共有C35C25A55－C35C14A44＝11040个符合条件的数．(6分)利用间接法，考不考虑限制条件决定解题的繁简程度，此题若从总体510A中除去不符合条件的数，定会增加解题的难度.[活学活用]从1,3,5,7,9中任取3个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位偶数？解：(1)五位数中不含数字0.第1步，选出5个数字，共有C35C24种选法．第2步，排成偶数——先排末位数，有A12种排法，再排其他四位数字，有A44种排法．∴N1＝C35·C24·A12·A44.(2)五位数中含有数字0.第1步，选出5个数字，共有C35·C14种选法．第2步，排顺序又可分为两小类：①末位排0，有A11·A44种排列方法；②末位不排0.这时末位数有C11种选法，而因为零不能排在首位，所以首位有A13种排法，其余3个数字则有A33种排法．∴N2＝C35·C14(A11·A44＋A13·A33)．∴符合条件的偶数个数为N＝N1＋N2＝C35C24A12A44＋C35C14(A11A44＋A13A33)＝4560.[随堂即时演练]1．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有()A．140种B．120种C．35种D．34种解析：分三种情况：①1男3女共有C14C33种选法．②2男2女共有C24C23种选法．③3男1女共有C34C13种选法．则共有C14C33＋C24C23＋C34C13＝34种选法．答案：D2．(浙江高考)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种解析：和为偶数共有3种情况，取4个数均为偶数有C44＝1种取法，取2奇数2偶数有C24·C25＝60种取法，取4个数均为奇数有C45＝5种取法，故共有1＋60＋5＝66种不同的取法．答案：D3．7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排3人，则不同的安排方案有________种(用数字作答)．解析：先从7人中选6人参加公益活动有C67种选法，再从6人中选3人在周六参加有C36种选法，剩余3人在周日参加，因此有C67C36＝140种不同的安排方案．答案：1404．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种(用数字作答)．解析：有C13·C24·A22＝36种满足题意的分配方案．其中C13表示从3个乡镇中任选定1个乡镇，且其中某2名大学生去的方法数；C24表示从4名大学生中任选2名到上一步选定的乡镇的方法数；A22表示将剩下的2名大学生分配到另两个乡镇去的方法数．答案：365．课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有1名女生当选；(2)两名队长当选；(3)至少有1名队长当选；解析：(1)1名女生，4名男生，故共有C15·C48＝350种选法．(2)将两名队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C22·C311＝165种选法．(3)法一：至少有1名队长含有两类：只有1名队长，2名队长．故共有C12·C411＋C22·C311＝825种选法．法二：采用间接法共有C513－C511＝825种选法．[课时达标检测]