人教A版数学选修23全册课件第二章22222事件的相互独立性

第二章2.22．2.2事件的相互独立性2突破常考题型题型一1理解教材新知题型二3跨越高分障碍4应用落实体验随堂即时演练课时达标检测题型三2.2二项分布及其应用2．2.2事件的相互独立性[提出问题]甲箱里装有3个白球、2个黑球，乙箱里装有2个白球、2个黑球．从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A＝“从甲箱里摸出白球”，B＝“从乙箱里摸出白球”．问题1：事件A发生会影响事件B发生的概率吗？提示：不影响．问题2：试求P(A)、P(B)、P(AB)．提示：P(A)＝35，P(B)＝12，P(AB)＝3×25×4＝310.问题3：P(B|A)与P(B)相等吗？提示：因为P(B|A)＝PABPA＝31035＝12，所以P(B|A)与P(B)相等．问题4：P(AB)与P(A)P(B)相等吗？提示：因为P(B|A)＝PABPA＝P(B)，所以P(AB)与P(A)P(B)相等．[导入新知]1．相互独立事件的概念设A，B为两个事件，若P(AB)＝，则称事件A与事件B相互独立．2．相互独立事件的性质(1)若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝．(2)如果事件A与B相互独立，那么，A与B，也相互独立．P(A)P(B)P(B)P(A)P(B)A与BA与B[化解疑难]如果事件A的发生不会影响事件B发生的概率，或者事件B的发生不会影响事件A发生的概率，则事件A与事件B相互独立．相互独立事件的判断[例1]判断下列各对事件，哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件？(1)掷一枚骰子一次，事件M：“出现的点数为奇数”，事件N：“出现的点数为偶数”；(2)掷一枚骰子一次，事件A：“出现偶数点”；事件B：“出现3点或6点”；[解](1)∵二者不可能同时发生，∴M与N是互斥事件．(2)基本事件空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，事件A＝{2,4,6}，事件B＝{3,6}，事件AB＝{6}，∴P(A)＝36＝12，P(B)＝26＝13，P(AB)＝16＝12×13，即P(AB)＝P(A)P(B)．故事件A与B相互独立．当“出现6点”时，事件A、B可以同时发生，因此，A、B不是互斥事件．[类题通法]判断事件是否相互独立的方法(1)定义法：事件A，B相互独立⇔P(AB)＝P(A)·P(B)．(2)利用性质：A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立．(3)有时通过计算P(B|A)＝P(B)可以判断两个事件相互独立．[活学活用]下列每对事件中，哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件？(1)袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M：“第一次摸到白球”，事件N：“第二次摸到白球”；(2)袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M：“第一次摸到白球”，事件N：“第二次摸到黑球”．解：(1)根据事件的特点易知，事件M是否发生对事件N发生的概率没有影响，故M与N是相互独立事件．(2)由于第1次摸到球不放回，因此会对第2次摸到球的概率产生影响，但不会造成“再从中任意取1球是黑球”的事件不发生，所以这两个事件既不是互斥事件，又不是相互独立事件.[例2]面对H1N1流感病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A，B，C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是15，14，13.求：(1)他们都研制出疫苗的概率；(2)他们都失败的概率；相互独立事件的概率[解]令事件A，B，C分别表示A，B，C三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A，B，C相互独立，且P(A)＝15，P(B)＝14，P(C)＝13.(1)他们都研制出疫苗，即事件ABC发生，故P(ABC)＝P(A)P(B)·P(C)＝15×14×13＝160.(2)他们都失败即事件ABC发生．故P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝(1－P(A))(1－P(B))(1－P(C))＝1－15×1－14×1－13＝45×34×23＝25.[类题通法]1．公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形：如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．2．求相互独立事件同时发生的概率的步骤：(1)首先确定各事件之间是相互独立的；(2)确定这些事件可以同时发生；(3)求出每个事件发生的概率，再求其积．[活学活用]设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．求：(1)进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率；(2)进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率．解：记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”，则P(A)＝0.5；记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”，则P(B)＝0.6；记C表示事件“进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买”；记D表示事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”．(1)易知C＝AB，则P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3.(2)易知D＝(AB)∪(AB)，则P(D)＝P(AB)＋P(AB)＝P(A)·P(B)＋P(A)P(B)＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.相互独立事件概率的实际应用[例3]三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为12，34，34，将它们中的某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率．[解]记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，则P(A1)＝12，P(A2)＝34，P(A3)＝34.不发生故障的事件为(A2∪A3)A1，∴不发生故障的概率为P＝P[(A2∪A3)A1]＝P(A2∪A3)·P(A1)＝[1－P(A2)·P(A3)]·P(A1)＝(1－14×14)×12＝1532.[类题通法]解决此类问题应注意(1)恰当用事件的“并”“交”表示所求事件；(2)“串联”时系统无故障易求概率，“并联”时系统有故障易求概率，求解时注意对立事件概率之间的转化．[活学活用]在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中1个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．解：如图所示，记这段时间内开关KA，KB，KC能够闭合为事件A，B，C.由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响，根据相互独立事件的概率公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是P(A－·B－·C－)＝P(A－)P(B－)P(C－)＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝(1－0.7)(1－0.7)(1－0.7)＝0.027.于是这段时间内至少有1个开关能够闭合，从而使线路能够正常工作的概率是1－P(A－·B－·C－)＝1－0.027＝0.973.即这段时间内线路正常工作的概率是0.973.3.“罗列”相互独立事件的几种类型[典例]甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，求两个人都译出密码的概率．[解]记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码”为事件B，A，B为相互独立事件，且P(A)＝13，P(B)＝14.2个人都译出密码的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝13×14＝112.[多维探究]解此类问题首先要判断事件的相互独立性，然后使用公式P(AB)＝P(A)·P(B)求解；若事件A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也相互独立，本例条件不变，下面利用它们的相互独立性求下列类型的概率．[探究一]本例条件不变，两个人都译不出密码的概率．解：两个人都译不出密码的概率为P(A·B)＝P(A)·P(B)＝[1－P(A)][1－P(B)]＝1－13×1－14＝12.[探究二]本例条件不变，恰有1个人译出密码的概率．解：恰有1个人译出密码可以分为两类：甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为P(A·B＋A·B)＝P(A·B)＋P(A·B)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝13×1－14＋1－13×14＝512.[探究三]本例条件不变，至多1个人译出密码的概率．解：“至多1个人译出密码”的对立事件为“两个人都译出密码”，所以至多1个人译出密码的概率为1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－13×14＝1112.[探究四]本例条件不变，至少1个人译出密码的概率．解：“至少有1个人译出密码”的对立事件为“两个人都未译出密码”，所以至少有1个人译出密码的概率为1－P(A·B)＝1－P(A)P(B)＝1－23×34＝12.[类题通法]已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)、P(B)，则有事件表示概率A，B同时发生ABP(A)P(B)A，B都不发生ABP(A)P(B)A，B恰有一个发生(AB)∪(AB)P(A)P(B)＋P(A)P(B)A，B中至少有一个发生(AB)∪(AB)∪(AB)P(A)P(B)＋P(A)P(B)＋P(A)P(B)A，B中至多有一个发生(AB)∪(AB)∪(AB)P(A)P(B)＋P(A)P(B)＋P(A)P(B)[随堂即时演练]1．若A与B是相互独立事件，则下面不是相互独立事件的是()A．A与AB．A与BC.A与BD.A与B解析：事件A与A为互斥事件且为对立事件，故选项A不是相互独立事件．答案：A2．甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学生，两班各派1名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是()A.524B.512C.124D.38解析：两班各自派出代表是相互独立事件，设事件A，B分别为甲班、乙班派出的是三好学生，则事件AB为两班派出的都是三好学生，则P(AB)＝P(A)P(B)＝936×636＝124.答案：C3．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是________．解析：所求概率P＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26.答案：0.264．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5，则3人都达标的概率是________，三人中至少有一人达标的概率是________．解析：由题意可知三人都达标的概率为P＝0.8×0.6×0.5＝0.24；三人中至少有一人达标的概率为P′＝1－(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.96.答案：0.240.965．在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为45和34.在同一时间内，求：(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率；(2)至少有一个气象台预报准确的概率．解：记“甲气象台预报天气准确”为事件A，“乙气象台预报天气准确”为事件B.(1)P(AB)＝P(A)×P(B)＝45×34＝35.(2)至少有一个气象台预报准确的概率为P＝1－P(AB)＝1－P(A)×P(B)＝1－15×14＝1920.[课时达标检测]