人教版数学选修44课件13简单曲线的极坐标方程

坐标系第一讲•1.3简单曲线的极坐标方程•2.1曲线的参数方程•2.1.1参数方程的概念与圆的参数方程栏目导航课前教材预案课堂深度拓展课后限时作业课末随堂演练•在平面直角坐标系中，平面曲线C可以用方程f(x，y)＝0表示．曲线与方程满足如下关系：•(1)曲线C上点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解；•(2)以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．•满足以上两点则说曲线与方程建立了一一对应的关系，方程是曲线的方程，曲线是方程的曲线．课前教材预案•要点一曲线与方程的关系•一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上的任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标满足方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的________________．•要点二曲线的极坐标方程极坐标方程•要点三常见的曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆___________圆心为(r,0)，半径为r的圆___________圆心为r，π2，半径为r的圆___________ρ＝rρ＝2rcosθρ＝2rsinθ曲线图形极坐标方程过极点，倾斜角为α的直线____________________过点(a,0)，与极轴垂直的直线___________过点a，π2，且与极轴平行___________＝a(0θπ)θ＝α和θ＝π＋α(ρ≥0)ρcosθ＝aρsinθ课堂深度拓展•考点一圆的极坐标方程•求圆的极坐标方程的步骤•(1)设圆上任意一点的极坐标为M(ρ，θ)．•(2)在极点、圆心与M构成的三角形中运用余弦定理或解直角三角形列出方程f(ρ，θ)＝0并化简．•(3)验证极点、圆心与M三点共线时，点M(ρ，θ)的极坐标也适合上述极坐标方程．•思维导引：已知圆心，又知圆过极点，也就知道半径，作出图形，依据题意列出圆上任意一点(ρ，θ)满足的方程．【例题1】求圆心在C2，32π处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点－2，56π是否在这个圆上．解析：由题意可知，圆经过极点O，OA为其一条直径，设M(ρ，θ)为圆上除去O，A以外任意一点，则OA＝2r，连接AM，则OM⊥MA.在Rt△OMA中，OM＝OAcos∠AOM，即ρ＝2rcos32π－θ，则ρ＝－4sinθ.经验证，点O(0,0)，A4，32π的坐标也满足方程．故所求圆的极坐标方程为ρ＝－4sinθ.经判断点－2，56π满足圆的极坐标方程为ρ＝－4sinθ，故点－2，56π在圆上．【变式1】(2016·江西高三联考)在极坐标系中，已知圆C的圆心为3，π3，半径为3，Q点在圆周上运动．(1)求圆C的极坐标方程；(2)若P是OQ中点，求P的轨迹．解析：(1)如图，设Q(ρ，θ)为圆上任意一点，连接DQ，OQ，则|OD|＝6，∠DOQ＝π3－θ，或∠DOQ＝θ－π3，∠DQO＝π2.在Rt△ODQ中，|OQ|＝|OD|cosθ－π3，即ρ＝6cosθ－π3.(2)若P的极坐标为(ρ，θ)，则Q点的极坐标为(2ρ，θ)．则2ρ＝6cosθ－π3，即ρ＝3cosθ－π3，则P的轨迹是圆．•考点二直线或射线的极坐标方程•求直线的极坐标方程的步骤•(1)设(ρ，θ)为直线上任一点的极坐标．•(2)写出动点满足的几何条件．•(3)把上述条件转化为ρ，θ的等式．•(4)化简整理．【例题2】求过点A(1,0)，且倾斜角为π4的直线的极坐标方程．思维导引：作出图形，找出动点性质，运用正弦定理解三角形建立动点M的关系式，从而建立动点(ρ，θ)的方程．也可先求出直角坐标方程，再转换成极坐标方程．解析：方法一由题意，设M(ρ，θ)为直线上任意一点，则△OAM中，由正弦定理得OMsin∠OAM＝1sin∠OMA，即ρsin34π＝1sinπ4－θ，化简得ρ(cosθ－sinθ)＝1，经检验，点A(1,0)也适合上述方程．则直线的极坐标方程为ρ(cosθ－sinθ)＝1.方法二先求过点A且倾斜角为π4的直线的直角坐标方程为y－0＝tanπ4(x－1)，即x－y－1＝0，化为极坐标方程为ρ(cosθ－sinθ)＝1.•【变式2】(2016·湖北高三模拟)求出下列直线的极坐标方程．•(1)过定点M(ρ0，θ0)，且与极轴成α弧度的角；•(2)过定点M(ρ0，θ0)，且与直线θ＝θ0垂直．解析：(1)设P(ρ，θ)为直线上任意一点(如图)，且记∠OPM＝∠1，∠OMP＝∠2，则∠1＝α－θ，∠2＝π－(α－θ0)．在△OMP中应用正弦定理：ρsin∠2＝ρ0sin∠1，即ρ＝ρ0·sinπ－∠2sin∠1＝ρ0·sinα－θ0sinα－θ.即直线方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．(2)设P(ρ，θ)为直线上任意一点(如图)，由△OMP为直角三角形，显然有ρcos(θ－θ0)＝ρ0.这就是所求直线方程．•考点三极坐标方程与直角坐标方程的互化•极坐标方程与直角坐标方程互化的技巧•(1)由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里只约定θ在[0,2π)范围内取值．•(2)由直角坐标方程化极坐标方程，最后要化简．•(3)由极坐标方程化直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常要两边同乘以ρ，得到直角坐标方程后，应检验极点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形．•思维导引：先求直角坐标系下的直线方程再转化极坐标方程．【例题3】设点A的极坐标为2，π6，直线l过点A且与极轴所成的角为π3，则直线l的极坐标方程为ρcosθ＋π6＝1或3ρcosθ－ρsinθ－2＝0或ρsinπ3－θ＝1或ρsinθ－4π3＝1.解析：∵点A的极坐标为2，π6，∴点A的平面直角坐标为(3，1)，又∵直线l过点A且与极轴所成的角为π3，∴直线l的方程为y－1＝(x－3)tanπ3，即3x－y－2＝0，∴直线l的极坐标方程为3ρcosθ－ρsinθ－2＝0，可整理为ρcosθ＋π6＝1或ρsinπ3－θ＝1或ρsinθ－4π3＝1.【变式3】(2016·广东汕头高二检测)在极坐标系中，圆ρ＝2上的点到直线ρ(cosθ＋3sinθ)＝6的距离的最小值是____.解析：ρ＝2的直角坐标方程为x2＋y2＝4，ρ(cosθ＋3sinθ)＝6的直角坐标方程为x＋3y－6＝0，圆心到直线的距离为d＝3，所以圆上的点到直线的距离的最小值为3－2＝1.1•考点四极坐标方程的应用•求曲线的极坐标方程的步骤•求曲线的极坐标方程与直角坐标方程类似．具体如下：•(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上的任意一点．•(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ与极角θ之间的关系式．•(3)将(2)所得方程进行整理与化简，得出曲线的极坐标方程．•(4)对特殊点进行检验，若有缺漏点则需要补充，若有不满足题意的点则需要去掉．•【例题4】(2016·河南郑州高二检测)从极点O作直线与另一直线l：ρcosθ＝4相交于点M，在OM上任取一点P，使OM·OP＝12.•(1)求点P的轨迹方程；•(2)设R为l上的任意一点，试求|RP|的最小值．•思维导引：设点P坐标(ρ，θ)，列方程，化简方程即可．•解析：(1)设动点P的极坐标为(ρ，θ)，M的极坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12.•∵ρ0cosθ＝4，∴ρ＝3cosθ即为所求的极坐标方程．(2)将P点的极坐标方程ρ＝3cosθ化为直角坐标方程为：x2＋y2＝3x，即x－322＋y2＝322，则点P的轨迹为以32，0为圆心，以32为半径的圆．直线l的直角坐标方程为x＝4.则圆心到直线的距离等于4－32＝52，所以RPmin＝52－32＝1.•【变式4】过极点O作圆C：ρ＝8cosθ的弦ON，求弦ON的中点M的轨迹方程．•解析：设点M(ρ，θ)，N(ρ1，θ1)．•∵点N在圆ρ＝8cosθ上，∴ρ1＝8cosθ1，•又∵点M是ON的中点，∴ρ1＝2ρ，θ1＝θ，∴2ρ＝8cosθ，∴ρ＝4cosθ.∴M点的轨迹方程为ρ＝4cosθ.课末随堂演练课后限时作业制作者：状元桥适用对象：高二学生制作软件：Powerpoint2003、Photoshopcs3运行环境：WindowsXP以上操作系统