人教版数学选修44课件14柱坐标系与球坐标系简介

坐标系第一讲•1.4柱坐标系与球坐标系简介•2.1曲线的参数方程•2.1.1参数方程的概念与圆的参数方程栏目导航课前教材预案课堂深度拓展课后限时作业课末随堂演练•建立空间直角坐标系Oxyz，设P(x，y，z)是空间任意一点，在Oxy平面的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，点P的位置可用有序数组(ρ，θ，z)表示．把建立上述对应关系的坐标系叫做____________．有序数组(ρ，θ，z)叫点P的____________，其中ρ≥0,0≤θ2π，z∈R.课前教材预案•要点一柱坐标系柱坐标系柱坐标•建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ，P在Oxy平面的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ，点P的位置可以用有序数组(r，φ，θ)表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)．有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，其中r≥0，0≤φ≤π，0≤θ2π.•要点二球坐标系•要点三空间直角坐标系与柱坐标系的转化空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，z＝z.•要点四空间直角坐标系与球坐标系的转化空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换公式为x2＋y2＋z2＝r2，x＝____________，y＝____________，z＝____________.rsinφcosθrsinφsinθrcosφ课堂深度拓展•考点一点的柱坐标与直角坐标的互化运用公式x＝ρcosθy＝ρsinθz＝z与ρ＝x2＋y2tanθ＝yxx≠0z＝z，可实现点的柱坐标与点的直角坐标之间的互化．在使用tanθ＝yx(x≠0)时，θ的值由直角坐标系中的x，y的符号来确定．•【例题1】设点M的直角坐标为(2,2,2)，求它在柱坐标系中的坐标．•思维导引：已知直角坐标系中点M的直角坐标，联想空间直角坐标系与柱坐标系的转化公式，代入求解．解析：设点M的柱坐标为(ρ，θ，z)，则有2＝ρcosθ，2＝ρsinθ，2＝z，解得ρ＝22，θ＝π4，z＝2.因此，点M的柱坐标为22，π4，2.【变式1】已知点P的柱坐标为8，π6，4，求它的直角坐标．解析：∵P点的柱坐标为8，π6，4，∴ρ＝8，θ＝π6.由公式x＝ρcosθy＝ρsinθz＝z，得x＝8cosπ6y＝8sinπ6z＝4，即x＝43，y＝4，z＝4.∴P点的直角坐标为(43，4,4)．•考点二点的球坐标与直角坐标的互化运用公式x2＋y2＋z2＝r2x＝rsinφcosθy＝rsinφsinθz＝rcosφ与r2＝x2＋y2＋z2tanθ＝yxx≠0cosφ＝zr，可实现点的球坐标与点的直角坐标的互化．特别注意在由直角坐标求球坐标的时候，θ，φ应根据点所在的象限准确取值，才能无误．【例题2】已知点M的球坐标为2，34π，34π，求它的直角坐标．思维导引：已知点M的球坐标，求它的直角坐标联想到公式x2＋y2＋z2＝r2，x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，z＝rcosφ，代入求解．解析：设点M的直角坐标为(x，y，z)，将点M的球坐标为2，34π，34π代入公式x2＋y2＋z2＝r2，x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，z＝rcosφ，得到x＝2sin34πcos34π＝－1，y＝2sin34πsin34π＝1，z＝2cos34π＝－2.因此点M的直角坐标为(－1,1，－2)．【变式2】设点M的直角坐标为24，64，－22，求它的球坐标．解析：由变换公式得r＝x2＋y2＋z2＝216＋616＋24＝1，由rcosφ＝z＝－22得cosφ＝－22，φ＝34π.又tanθ＝yx＝3(x＞0，y＞0)，得θ＝π3.则M的球坐标为1，3π4，π3.•考点三空间坐标系中两点间的距离空间坐标系中两点间距离的解法在球坐标系与柱坐标系中没有研究两点间的距离，应先把它们化成直角坐标，再运用空间两点间的距离公式d＝x2－x12＋y2－y12＋z1－z22求解．•思维导引：把柱坐标与球坐标都化为直角坐标，利用空间两点间的距离公式来解决．【例题3】已知点M的柱坐标为2，π4，3，点N的球坐标为2，π4，π2，求线段MN的长度．解析：设点M的直角坐标为(x，y，z)，则由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，z＝z，得x＝2cosπ4＝1，y＝2sinπ4＝1，z＝3，则M(1,1,3)．设点N的直角坐标为(x′，y′，z′)，则由x2＋y2＋z2＝r2，x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，z＝rcosφ，得x′＝2sinπ4cosπ2＝0，y′＝2sinπ4sinπ2＝1，z′＝2cosπ4＝1，则N(0,1,1)．故MN＝1－02＋1－12＋3－12＝5.【变式3】在球坐标系中，A2，π4，π4和B2，3π4，3π4的距离为_______.解析：A，B两点化为直角坐标分别为：A(1,1，2)，B(－1,1，－2)．故|AB|＝[1－－1]2＋1－12＋[2－－2]2＝23.23•考点四空间坐标系的综合应用•(1)柱坐标系是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的．•(2)解决空间坐标系中的问题的关键是找出这些点所具有的共性和变化的特征．•【例题4】给定一个底面半径为2，高为2的圆柱，建立柱坐标系，利用柱坐标系描述圆柱侧面以及底面上点的坐标．•思维导引：建立恰当的柱坐标系，然后根据柱坐标的定义解决相关问题．•解析：以圆柱底面圆的圆心为原点，取两条互相垂直的直线为x轴y轴，以向上的中轴线为z轴正方向建立柱坐标系．•下底面上的点的柱坐标满足(ρ1，θ1,0)其中0≤ρ1≤2，0≤θ1＜2π.•上底面上的点的柱坐标满足(ρ2，θ2,2)其中0≤ρ2≤2，0≤θ2＜2π.•侧面上的点的柱坐标满足(2，θ3，z)其中0≤θ3＜2π，0≤z≤2.【变式4】在赤道平面上，我们选取地球球心O为极点，以O为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴，建立坐标系．有A，B两个城市，它们的球坐标分别为AR，π4，π6，BR，π4，2π3，飞机沿球的大圆圆弧飞行时，航线最短，求最短的路程．解析：如图所示，因为AR，π4，π6，BR，π4，2π3，可知∠AOO1＝∠O1OB＝π4，则∠O1AO＝∠O1BO＝π4.又∵∠EOC＝π6，∠EOD＝2π3，∴∠COD＝2π3－π6＝π2.∴∠AO1B＝∠COD＝π2.Rt△OO1B中，∠O1BO＝π4，OB＝R，∴O1B＝O1A＝22R.∵∠AO1B＝π2，∴AB＝R.在△AOB中，AB＝OB＝OA＝R，∴∠AOB＝π3.故飞机经过A，B两地的大圆，航线最短，其路程为π3R.课末随堂演练课后限时作业制作者：状元桥适用对象：高二学生制作软件：Powerpoint2003、Photoshopcs3运行环境：WindowsXP以上操作系统