人教版数学选修44课件21曲线的参数方程211

参数方程第二讲教材单元导学知识结构图解分类考试要求考点及能力要求高考1.圆的参数方程d2.参数方程和普通方程的互化d3.圆锥曲线的参数方程a4.直线的参数方程d5.渐开线与摆线a•2.1曲线的参数方程•2.1.1参数方程的概念与圆的参数方程栏目导航课前教材预案课堂深度拓展课后限时作业课末随堂演练课前教材预案•要点一参数方程的概念1．在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x，y)都是某个变数t的函数x＝fty＝gt(*)，并且对于t的每一个允许值，由方程组(*)所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程(*)就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．2．参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．•1．如图所示，设圆O的半径为r，点M从初始位置M0出发，按逆时针方向•要点二圆的参数方程在圆O上作匀速圆周运动，设M(x，y)，则x＝_______，y＝_______，(θ为参数)，这就是圆心在原点，半径为r的圆的参数方程，其中θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度．rcosθrsinθ•2．圆心为C(a，b)，半径为r的圆的普通方程与参数方程：普通方程参数方程__________________x＝___________y＝____________(θ为参数)(x－a)2＋(y－b)2＝r2a＋rcosθb＋rsinθ课堂深度拓展•考点一参数方程的概念•判断点是否在曲线上的方法•已知曲线的参数方程，判断某点是否在曲线上，就是将点的坐标代入曲线的参数方程，然后建立关于参数的方程组，若方程组有解，则点在曲线上；否则，点不在曲线上．【例题1】已知参数方程x＝2cosθ，y＝2sinθ(θ为参数，θ∈[0,2π))．判断点A(1，3)和B(2,1)是否在方程的曲线上．思维导引：对于曲线C的参数方程x＝ft，y＝gt(t为参数)，若点M(x0，y0)在曲线上，则x0＝ft，y0＝gt对应的参数t有解，否则无解，即参数t不存在．解析：把A，B两点坐标分别代入方程得1＝2cosθ3＝2sinθ①，2＝2cosθ1＝2sinθ②，在[0,2π)内，方程组①的解是θ＝π3，而方程组②无解，故A点在方程的曲线上，而B点不在方程的曲线上．【变式1】已知曲线C的参数方程是x＝2t，y＝3t2－1(t为参数)．(1)判断点M1(0，－1)，M2(4,10)与曲线C的位置关系；(2)已知点M(2，a)在曲线C上，求a的值．解析：(1)把点M1的坐标代入参数方程x＝2t，y＝3t2－1，得0＝2t，－1＝3t2－1，∴t＝0.即点M1在曲线C上．把点M2的坐标代入参数方程x＝2t，y＝3t2－1，得4＝2t，10＝3t2－1，方程组无解．即点M2不在曲线C上．(2)∵点M(2，a)在曲线C上，∴2＝2t，a＝3t2－1.∴t＝1，a＝3×12－1＝2，即a的值为2.•考点二圆的参数方程及其应用•(1)解决此类问题的关键是根据圆的参数方程写出点的坐标，并正确确定参数的取值范围．•(2)利用圆的参数方程求参数或代数式的取值范围的实质是利用正余弦函数的有界性．•【例题2】圆的直径AB上有两点C，D，且|AB|＝10，|AC|＝|BD|＝4，P为圆上一点，求|PC|＋|PD|的最大值．•思维导引：建立平面直角坐标系，将P点坐标用圆的参数方程的形式表示出来，θ为参数，那么|PC|＋|PD|就可以用只含有θ的式子来表示，再利用三角函数等相关知识计算出最大值．解析：以AB所在直线为x轴，以线段AB的中点为原点建立平面直角坐标系．∵|AB|＝10，∴圆的参数方程为x＝5cosθ，y＝5sinθ，(θ为参数)．∵|AC|＝|BD|＝4，∴C(－1,0)，D(1,0)．∵点P在圆上，∴可设P(5cosθ，5sinθ)．∴|PC|＋|PD|＝5cosθ＋12＋5sinθ2＋5cosθ－12＋5sinθ2＝26＋10cosθ＋26－10cosθ＝26＋10cosθ＋26－10cosθ2＝52＋2262－100cos2θ.当cosθ＝0时，(|PC|＋|PD|)max＝52＋52＝226.∴|PC|＋|PD|的最大值为226.•【变式2】已知实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2＝9，求x2＋y2的最大值和最小值．解析：由已知，可把点(x，y)视为圆(x－1)2＋(y－1)2＝9上的点．设x＝1＋3cosθ，y＝1＋3sinθ(θ为参数)，则x2＋y2＝(1＋3cosθ)2＋(1＋3sinθ)2＝11＋6(sinθ＋cosθ)＝11＋62sinθ＋π4.∵－1≤sinθ＋π4≤1，∴11－62≤x2＋y2≤11＋62.∴x2＋y2的最大值为11＋62，最小值为11－62.•考点三参数方程的实际应用•【例题3】某飞机进行投弹演习，已知飞机离地面高度为H＝2000m，水平飞行速度为v1＝100m/s，如图所示．•(1)求飞机投弹ts后炸弹的水平位移和离地面的高度；•(2)如果飞机追击一辆速度为v2＝20m/s同向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？(g＝10m/s2)•思维导引：建立直角坐标系，设出炸弹对应的点的坐标的参数方程，然后利用运动学知识求解．解析：(1)如图所示，建立平面直角坐标系，设炸弹投出机舱的时刻为0s，在时刻ts时其坐标为M(x，y)，由于炸弹作平抛运动，依题意，得x＝100t，y＝2000－12gt2，即x＝100t，y＝2000－5t2，所以飞机投弹ts后炸弹的水平位移为100tm，离地面的高度为(2000－5t2)m，其中0≤t≤20.•(2)令y＝2000－5t2＝0，得t＝20(s)，•由于炸弹水平运动和汽车的运动均为匀速直线运动，以汽车为参考系．水平方向s相对＝v相对t，•所以飞机应距离汽车投弹的水平距离为s＝(v1－v2)t＝(100－20)×20＝1600(m)．•【变式3】动点P做匀速直线运动，它在x轴和y轴上的分速度分别为2m/s和3m/s，直角坐标系的单位长度为1m，点P的起始位置为P0(3,2)．•(1)求点P的轨迹的参数方程；•(2)求运动10s时点P的坐标．解析：(1)设点P的坐标为(x，y)，运动时间为t(t≥0)，则点P的轨迹的参数方程为x＝3＋2t，y＝2＋3t(t为参数)．(2)当t＝10时，x＝3＋2×10＝23，y＝2＋3×10＝32，∴点P的坐标为(23,32)．课末随堂演练课后限时作业制作者：状元桥适用对象：高二学生制作软件：Powerpoint2003、Photoshopcs3运行环境：WindowsXP以上操作系统